Question

16．一長(zhǎng)木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置一小物塊；在木板右方有一墻壁．木板右端與墻壁的距離為5m，如圖（a）所示，t=0時(shí)刻開始，小物塊與木板一起以共同速度向右運(yùn)動(dòng)，直至t=1s時(shí)木板與墻壁碰撞（碰撞時(shí)間極短）．碰撞前后木板速度大小不變，方向相反，運(yùn)過程中小物塊始終未離開木板，已知碰撞后1s時(shí)間內(nèi)小物塊的v-t圖線如圖（b）所示．木板的質(zhì)量是小物塊質(zhì)量的15倍，重力大小g取10m/s²．求
（1）小物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁；
（2）木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂；
（3）求從木板撞到墻上開始計(jì)時(shí)到小物塊速度減為0的過程中，小物塊移動(dòng)的距離x₁和木板離開墻移動(dòng)的距離x₂；
（4）根據(jù)題意求木板的最小長(zhǎng)度L．

Answer 1

分析 （1）、（2）對(duì)碰前過程由牛頓第二定律時(shí)行分析，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求得μ₂；再對(duì)碰后過程分析，研究物塊的運(yùn)動(dòng)過程，同理可求得μ₁；
（3）分別物塊進(jìn)行分析，由牛頓第二定律求解加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解小物塊移動(dòng)的距離x₁．再對(duì)木板研究，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解木板離開墻移動(dòng)的距離x₂．
（4）對(duì)木板和物塊達(dá)相同靜止后的過程進(jìn)行分析，由牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式聯(lián)立可求得相對(duì)位移，即得到木板的最小長(zhǎng)度．

解答 解：（1）、（2）設(shè)向右為正方向，木板與墻壁相碰前，小物塊和木板一起向右做勻變速運(yùn)動(dòng)，加速度設(shè)為a₁，小物塊和木板的質(zhì)量分別為m和M．
碰墻前，由牛頓第二定律有：
-μ₂（m+M）g=（m+M）a₁
由圖可知，木板與墻壁碰前瞬時(shí)速度v₁=4m/s；由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得：v₁=v₀+a₁t₁
 s₀=v₀t₁+$\frac{1}{2}$a₁t₁²；
式中t₁=1s，而s₀=5m是木板的位移，v₀是小物塊和木板開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度．
聯(lián)立以上各式解得：μ₂=0.2．
在木板與墻壁碰撞后，木板以-v₁的初速度向左做勻變速運(yùn)動(dòng)，小物塊以v₁的初速度向右做勻變速運(yùn)動(dòng)．設(shè)小物塊的加速度為a₂，由牛頓第二定律有：
-μ₁mg=ma₂
由圖可得：a₂=$\frac{△v}{△t}$=$\frac{0-4}{1}$=-4m/s²．
代入以上兩式可得：μ₁=0.4；
（3）從木板撞到墻上開始計(jì)時(shí)到小物塊速度減為0的過程中，小物塊移動(dòng)的距離 x₁=$\frac{1}{2}×4×1$m=2m
設(shè)碰撞后木板的加速度大小為a₃，由牛頓第二定律得：
  μ₁mg+μ₂（M+m）g=Ma₃
又M=15m
解得：a₃=2.4m/s²；
從木板撞到墻上開始計(jì)時(shí)到小物塊速度減為0的過程中，木板離開墻移動(dòng)的距離
  x₂=v₁t₂-$\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{2}^{2}$=4×1-$\frac{1}{2}×2.4×{1}^{2}$=2.8m
此時(shí)木板的速度大小 v=v₁-a₃t₂=4-2.4×1=2.6m/s
（4）設(shè)從物塊的速度為零到與木板的速度相等經(jīng)過時(shí)間△t，木板和小物塊剛好具有共同速度v₃，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：v₃=v₁-a₃△t=|a₂|△t，解得△t=$\frac{5}{8}$s，v₃=2.5m/s
此過程中，木板運(yùn)動(dòng)的位移為：s₁=$\frac{{v}_{1}+{v}_{3}}{2}$△t
小物塊的位移為：s₂=$\frac{{v}_{3}}{2}△t$
小物塊相對(duì)于木板的位移為：△s=s₂-s₁
由以上各式解得：△s=1.25m；
因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)過程中，小物塊沒有脫離木板，所以木板的最小長(zhǎng)度應(yīng)為 L=x₁+x₂+△s=6.05m
答：
（1）小物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁為0.4．
（2）木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂為0.1．
（3）從木板撞到墻上開始計(jì)時(shí)到小物塊速度減為0的過程中，小物塊移動(dòng)的距離x₁和木板離開墻移動(dòng)的距離x₂分別為2m和2.8m．
（4）木塊的最小長(zhǎng)度為6.05m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的應(yīng)用，涉及兩個(gè)物體多個(gè)過程，題目中問題較多，但只要認(rèn)真分析，一步步進(jìn)行解析，是完全可以求解的．