Question

1．如圖所示的xoy坐標系中，x軸上方，y軸與MN之間區(qū)域內有沿x軸正向的勻強電場，場強的大小E₁=1.5×10⁵N/C；x軸上方，MN右側足夠大的區(qū)域內有垂直于紙面向里的勻強磁場I，磁場I的磁感應強度大小B₁=0.2T．在原點O處有一粒子源，沿紙面向電場中各方向均勻地射出速率均為v₀=1.0×10⁶m/s的某種帶正電粒子，粒子質量m=6.4×10^-27kg，電荷量q=3.2×10^-19C，粒子可以無阻礙地通過邊界MN進入磁場．已知ON=0.2m．不計粒子的重力，圖中MN、FG均與y軸平行．求：
（1）粒子進入磁場時的速度大��；
（2）已知在電場中運動時間最短的粒子剛好不能穿過FG進入FG右側的區(qū)域．若在磁場區(qū)域疊加一個方向垂直xoy平面的勻強磁場Ⅱ，可使在電場中運動時間最長的粒子剛好不能穿過FG進入FG右側的區(qū)域，求勻強磁場Ⅱ的磁感應強度B₂的大小和方向；
（3）若在MN右側磁場空間內加一在xoy平面內的勻強電場E₂，某一粒子從MN上的P點進入復合場中運動，先后經過了A（0.5m，y_A）、C（0.3m，y_c）兩點，如圖所示，粒子在A點的動能等于粒子在O點動能的7倍，粒子在C點的動能等于粒子在O點動能的5倍，求所加電場強度E₂的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求出粒子進入磁場時的速度大小．
（2）在電場中運動時間最短的粒子從N點進入磁場，剛好不能穿過FG，作出粒子運動的軌跡，結合幾何關系求出半徑的大小，在電場中運動最長的粒子在電場中做類平拋運動，結合幾何關系求出粒子運動的軌道半徑．根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出勻強磁場Ⅱ的磁感應強度B₂的大小和方向．
（3）根據(jù)動能定理求出A、C的電勢，結合勻強電場的特性，根據(jù)電場強度與幾何關系求出所加電場強度E₂的大小和方向．

解答 解：（1）由動能定理得：$\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}mv_0^2=qE\overline{_1ON}$
代入數(shù)據(jù)解得：v=2×10⁶m/s
（2）在電場中運動時間最短的粒子從N點進入磁場，剛好不能穿過FG，其運動軌跡如圖中圓弧NHK，F(xiàn)G與MN間的距離等于軌道半徑r₁．
由洛倫茲力公勻速圓周運動規(guī)律得：$q{B_1}v=m\frac{v^2}{r_1}$
解得：$\overline{NG}={r_1}=0.2$m
在電場中運動時間最長的粒子從Q點進入磁場，進入磁場的方向與NM的夾角為θ，由類平拋運動的規(guī)律得：$cosθ=\frac{v_0}{v}=\frac{{1×{{10}^6}}}{{2×{{10}^6}}}=\frac{1}{2}$θ=60°
加上磁場B₂后，粒子運動軌跡如圖中圓弧QIJ或QRT．所加磁場方向垂直于紙面向外，大小分別為B₂和B′₂，對應的軌道半徑為分別為r₂和r′₂由幾何知識可得：${r_2}-{r_2}cosθ=\overline{NG}$　　　　　
${r}_{2}′+{r}_{2}′cosθ=\overline{NG}$
由洛倫茲力公勻速圓周運動規(guī)律得：$q（{B_1}-{B_2}）v=m\frac{v^2}{r_2}$，
q（B₂′-B₁）v=$m\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}′}$     
聯(lián)立以上各式并代入數(shù)據(jù)解得：B₂=0.1T 　B′₂=0.5T
（3）粒子從P點進入磁場時的動能為：${E_{kP}}=\frac{1}{2}m{v^2}=\frac{1}{2}m{（2{v_0}）^2}=4{E_{k0}}$
MN右側磁場空間內加一在xoy平面內的勻強電場后，設A點的電勢為U_A，C點的電勢為U_C，取P點零電勢點，則由動能定理得：
q（U_P-U_A）=E_kA-E_kP
q（U_P-U_C）=E_kC-E_kP
解得：${U_A}=-\frac{{3{E_{k0}}}}{q}$
${U_C}=-\frac{{{E_{k0}}}}{q}$
在AP連線上取一點D，設$\overline{PA}=3\overline{PD}$，則由勻強電場特性可知U_P-U_A=3（U_P-U_D）
由幾何知識可得：x_A-x_P=3（x_D-x_P）
解得：${U_D}=-\frac{{{E_{k0}}}}{q}={U_C}$
x_D=0.3m=x_C，即x坐標相同的兩點為等勢點，A點電勢低于P點的電勢，所加電場沿x軸正方向，則有U_P-U_C=E₂（x_C-x_P）
聯(lián)立以上各式并代入數(shù)據(jù)解得：${E_2}=1.0×{10^5}$N/C．
答：（1）粒子進入磁場時的速度大小為2×10⁶m/s
（2）勻強磁場Ⅱ的磁感應強度B₂的大小為0.1T，方向垂直紙面向外．
（3）所加電場強度E₂的大小為1.0×10⁵N/C，方向沿x軸正方向．

點評 本題考查帶電粒子在電場中和磁場中的運動，理清粒子的運動規(guī)律是解決本題的關鍵，處理粒子在磁場中運動問題，要會確定粒子做圓周運動的圓心、半徑和圓心角，此類題型難度較大，經常作為考試的壓軸題出現(xiàn)．