Question

8．如圖傾斜的玻璃管長(zhǎng)為L(zhǎng)=57cm．一端封閉、另一端開(kāi)口向上，傾角θ=30°．有4cm長(zhǎng)的水銀柱封閉著45cm長(zhǎng)的理想氣體，管內(nèi)外氣體的溫度均為33℃，大氣壓強(qiáng)p₀=76cmHg．求：
（i）將璃管緩慢加熱，若有2cm水銀柱逸出，則溫度需要升高到多少；
（ii）若讓玻璃管沿傾斜方向向上以a=2m/s²做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則空氣柱長(zhǎng)度為多少．

Answer 1

分析 （1）部分的水銀溢出后，氣體的壓強(qiáng)減小，分別列出兩種情況下對(duì)應(yīng)的狀態(tài)，然后又理想氣體的狀態(tài)方程即可解答；
（2）當(dāng)玻璃管向上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，先對(duì)水銀進(jìn)行受力分析，并結(jié)合牛頓第二定律求出氣體的壓強(qiáng)，然后由理想氣體的狀態(tài)方程解答即可．

解答 解：（1）設(shè)玻璃管的橫截面積是S，水銀的密度是ρ，質(zhì)量是m，則m=ρSL，P₀=0.76ρg，氣體初狀態(tài)的壓強(qiáng)為：L₁=45cm，T₁=33+273=306K；${P}_{1}={P}_{0}+\frac{mgsin30°}{S}={P}_{0}+\frac{mg}{2S}$
氣體的末狀態(tài)：L₂=57-2=55cm；T₂=？；${P}_{2}={P}_{0}+\frac{\frac{1}{2}mgsinθ}{S}={P}_{0}+\frac{mg}{4S}$
由理想氣體的狀態(tài)方程：$\frac{{P}_{1}{L}_{1}S}{{T}_{1}}=\frac{{P}_{2}{L}_{2}}{{T}_{2}}$
代入數(shù)據(jù)得：T₂=369K
（2）當(dāng)玻璃管向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，玻璃管中的水銀柱受到重力、支持力、上邊空中向下的作用力與下邊空氣向上的作用力，合力提供向上的加速度，得：
P₃S-mgsinθ-P₀S=ma
所以：P₃=P₀+$\frac{m（gsinθ+a）}{S}$
氣體做等溫變化，得：P₃L₃S=P₁L₁S
代入數(shù)據(jù)得：L₃=44.5cm
答：（i）將璃管緩慢加熱，若有2cm水銀柱逸出，則溫度需要升高到369K；
（ii）若讓玻璃管沿傾斜方向向上以a=2m/s²做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則空氣柱長(zhǎng)度為44.5cm．

點(diǎn)評(píng) 該題結(jié)合受力分析與牛頓第二定律考查理想氣體的狀態(tài)方程，由于向上做加速運(yùn)動(dòng)，所以正確對(duì)玻璃管中的水銀柱進(jìn)行受力分析是找出氣體的壓強(qiáng)的關(guān)鍵．