Question

19．如圖所示為一個折射率為$\sqrt{2}$的、截面為$\frac{1}{4}$圓的玻璃柱，圓的半徑為r，一束平行光垂直于其中的一個側(cè)面照在玻璃柱上，求有光透出的圓形側(cè)面的弧長．

Answer 1

分析 從圓柱內(nèi)部射向CD面的光，越靠近OD，其入射角越小，越容易從圓形側(cè)面射出．設(shè)B點為有光射出的最高點，在B點恰好發(fā)生全反射，由臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$求出臨界角C，再由幾何知識求解．

解答 解：如圖所示，從圓柱內(nèi)部射向CD面的光，越靠近OD，其入射角越小，越容易從圓形側(cè)面射出．　　　　　
設(shè)B點為有光射出的最高點，則BD弧長為要求的弧長     
光線在B點恰好發(fā)生全反射，入射角等于臨界角C．
由于sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，可得 C=$\frac{π}{4}$　　　　　　　
則∠ABO=∠BOD=$\frac{π}{4}$
所以有光透出的圓形側(cè)面的弧長：$\widehat{BD}$=$\frac{π}{4}$r
答：有光透出的圓形側(cè)面的弧長為$\frac{π}{4}$r．

點評 本題的關(guān)鍵要理解并掌握全反射的條件和臨界角公式，正確地作出光路圖是解決幾何光學(xué)問題的基礎(chǔ)，要有運用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力．