Question

2．如圖所示，航天器對某表層為液體的行星進行探測，該星球的半徑為R，它是由表層為液體、核心為巖體球的兩部分組成．其表面液體的厚度為該星球半徑的一半，探測器的軌道半徑為2R，它繞該星球的周期為T，該星球的中心巖體球的半徑為$\frac{R}{2}$，其密度為表層液體的5倍，若萬有引力常數(shù)為G，不計其它天體的影響，則其表面的液體密度為（　�。�

• A． $\frac{8π}{G{T}^{2}}$
• B． $\frac{12π}{3G{T}^{2}}$
• C． $\frac{16π}{G{T}^{2}}$
• D． $\frac{24π}{G{T}^{2}}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力求出星球的總質(zhì)量，再用密度表示出星球的總質(zhì)量，聯(lián)立即可求解．

解答 解：航天器繞星球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm}{（2R）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（2R）$
解得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（2R）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$①
設(shè)表層的液體密度為ρ，中心巖體的密度為5ρ
M=$5ρ×\frac{4}{3}π（\frac{R}{2}）_{\;}^{3}+ρ（\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}-\frac{4}{3}π（\frac{R}{2}）_{\;}^{3}）$=$2ρπ{R}_{\;}^{3}$②
聯(lián)立①②得：$ρ=\frac{16π}{G{T}_{\;}^{2}}$，C正確，ABD錯誤；
故選：C

點評 此題一定明確萬有引力提供向心力，會用周期表示向心力，還要知道球體的體積公式及密度公式，同時注意公式間的化簡．