Question

20．如圖甲所示，長、寬分別為L₁、L₂的矩形金屬線框位于豎直平面內(nèi)，其匝數(shù)為n，總電阻為r，可繞其豎直中心軸O₁O₂轉(zhuǎn)動．線框的兩個末端分別與兩個彼此絕緣的銅環(huán)C、D（集流環(huán)）焊接在一起，并通過電刷和定值電阻R相連．線框所在空間有水平向右均勻分布的磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小隨時間t的變化關(guān)系如圖乙所示，其中B₀、B₁和t₁均為已知．在0～t₁的時間內(nèi)，線框保持靜止，且線框平面和磁場垂直；t₁時刻后線框在外力的驅(qū)動下開始繞其豎直中心軸以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動．求：
（1）0～t₁時間內(nèi)通過電阻R的電流大��；
（2）線框勻速轉(zhuǎn)動后，在轉(zhuǎn)動一周的過程中電流通過電阻R產(chǎn)生的熱量；
（3）線框勻速轉(zhuǎn)動后，從圖甲所示位置轉(zhuǎn)過90°的過程中，通過電阻R的電荷量．

Answer 1

分析 （1）先求出感應(yīng)電動勢，再根據(jù)閉合電路歐姆定律求解電流；
（2）線框產(chǎn)生感應(yīng)電動勢的最大值 E_m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$nB₁ L₁L₂ω，進(jìn)而求出有效值，根據(jù) Q=I²Rt即可求解在轉(zhuǎn)動一周的過程中電流通過電阻R產(chǎn)生的熱量；
（3）先求出平均電動勢，再求出平均電流，根據(jù)q=$\overline{I}t$即可求解．

解答 解：（1）0～t₁時間內(nèi)，線框中的感應(yīng)電動勢為：
E=n $\frac{△φ}{△t}=\frac{n{L}_{1}{L}_{2}（{B}_{1}-{B}_{0}）}{{T}_{1}}$
根據(jù)閉合電路歐姆定律可知，通過電阻R的電流為：
I=$\frac{E}{R+r}=\frac{n{L}_{1}{L}_{2}（{B}_{1}-{B}_{0}）}{（R+r）{t}_{1}}$
（2）線框產(chǎn)生感應(yīng)電動勢的最大值為：E_m=nB₁ L₁L₂ω
感應(yīng)電動勢的有效值為：E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$nB₁ L₁L₂ω
通過電阻R的電流 的有效值為：I=$\frac{\sqrt{2}n{B}_{1}{L}_{1}{L}_{2}ω}{2（R+r）}$
線框轉(zhuǎn)動一周所需的時間為：t=$\frac{2π}{ω\;}$
此過程中，電阻R產(chǎn)生的熱量為：Q=I²Rt=πRω$（\frac{n{B}_{1}{L}_{1}{L}_{2}}{R+r}）^{2}$
（3）線框從圖甲所示位置轉(zhuǎn)過90°的過程中，平均感應(yīng)電動勢為：$\overline{E}=n\frac{{△}_{φ}}{{△}_{t}}=\frac{n{B}_{1}{L}_{1}{L}_{2}}{△t}$  
平均感應(yīng)電流為：$\overline{I}=\frac{n{B}_{1}{L}_{1}{L}_{2}}{△t（R+r）}$
通過電阻R的電荷量為：q=$\overline{I}△t=\frac{n{B}_{1}{L}_{1}{L}_{2}}{R+r}$
答：（1）0～t₁時間內(nèi)通過電阻R的電流大小為$\frac{n{L}_{1}{L}_{2}（{B}_{1}-{B}_{0}）}{（R+r）{t}_{1}}$；
（2）線框勻速轉(zhuǎn)動后，在轉(zhuǎn)動一周的過程中電流通過電阻R產(chǎn)生的熱量為πRω${（\frac{n{B}_{1}{L}_{1}{L}_{2}}{R+r}）}^{2}$；
（3）線框勻速轉(zhuǎn)動后，從圖甲所示位置轉(zhuǎn)過90°的過程中，通過電阻R的電荷量為$\frac{n{B}_{1}{L}_{1}{L}_{2}}{R+r}$

點(diǎn)評 本題考查交變電流最大值、有效值的理解和應(yīng)用的能力，對于交流電表的測量值、計算交流電功率、電功等都用到有效值，求電量時，I需要用平均值．