Question

16．如圖甲所示，足夠長(zhǎng)的平行導(dǎo)軌間距L=0.5m，導(dǎo)軌平面與絕緣水平面間的夾角θ=37°，導(dǎo)軌上端ab處接有一個(gè)R=4Ω的電阻，勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌平面且方向向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀=1T．將一根質(zhì)量為m=0.05kg，電阻不能忽略的金屬棒在導(dǎo)軌上端ab處由靜止釋放，當(dāng)金屬棒滑行至cd處時(shí)速度達(dá)到最大，已知在此過(guò)程中，通過(guò)金屬棒截面的電量q=0.2C，金屬棒的加速度a與速度v的關(guān)系如圖乙所示，設(shè)金屬棒沿導(dǎo)軌向下運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終與ab平行且與導(dǎo)軌接觸良好．（重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）金屬棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ及金屬棒滑行至cd處的過(guò)程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱；
（2）若將金屬棒滑行至cd處的時(shí)刻記作t=0，從此時(shí)刻起，讓磁感應(yīng)強(qiáng)度逐漸減小，為使金屬棒不產(chǎn)生感應(yīng)電流，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)怎樣隨時(shí)間t變化（寫出B與t的關(guān)系式）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律和安培力與速度的關(guān)系式，得到a與v的關(guān)系式，結(jié)合圖象的信息求解動(dòng)摩擦因數(shù)μ．根據(jù)電量求出棒下滑的距離，再由能量守恒定律求電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．
（2）要使金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，則穿過(guò)線框的磁通量不變．同時(shí)棒受到重力、支持力與滑動(dòng)摩擦力做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．從而可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)怎樣隨時(shí)間t變化的，然后求出磁感應(yīng)強(qiáng)度與時(shí)間的關(guān)系式．

解答 解：（1）在達(dá)到穩(wěn)定速度前，金屬棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E=B₀Lv
由歐姆定律得：I=$\frac{E}{R+r}$
棒所受的安培力：F_A=B₀IL
由牛頓第二定律得：mgsinθ-F_A-μmgcosθ=ma
聯(lián)立得 a=g（sinθ-μgcosθ）-$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{m（R+r）}$
由圖知，v=0時(shí)，a=2m/s²，即有 g（sinθ-μgcosθ）=2m/s²，解得 μ=0.5
當(dāng)a=0時(shí)，v=2m/s，即有 g（sinθ-μgcosθ）-$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{m（R+r）}$=0
代入數(shù)據(jù)解得 r=1Ω
設(shè)棒ab處滑到cd處下滑的距離為s，由 q=$\overline{I}t$=$\frac{BL\overline{v}t}{R+r}$=$\frac{BLs}{R+r}$
則得 s=$\frac{q（R+r）}{BL}$=$\frac{0.2×（4+1）}{1×0.5}$m=2m
根據(jù)能量守恒得，重力勢(shì)能減小轉(zhuǎn)化為動(dòng)能、摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能和回路中產(chǎn)生的焦耳熱．
由能量守恒定律得：mgs•sinθ=$\frac{1}{2}$mv²+μmgscosθ+Q
電阻R上產(chǎn)生的熱量：Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q，代入數(shù)據(jù)解得：Q_R=0.08J；
（2）當(dāng)回路中的總磁通量不變時(shí)，金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流．
此時(shí)金屬棒將沿導(dǎo)軌做勻加速運(yùn)動(dòng)，故：mgsinθ-μmgcosθ=ma，a=2m/s²
設(shè)t時(shí)刻磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，則：B₀Ls=BL（s+x）
位移：x=vt+$\frac{1}{2}$at²
解得：B=$\frac{{B}_{0}s}{s+vt+\frac{1}{2}a{t}^{2}}$=$\frac{2}{2+2t+{t}^{2}}$T；
答：
（1）金屬棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ是0.5，金屬棒滑行至cd處的過(guò)程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱是0.08J；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)怎樣隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為B=$\frac{2}{2+2t+{t}^{2}}$T．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律、閉合電路毆姆定律，安培力公式、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式，推導(dǎo)出a與v的關(guān)系式，同時(shí)要明確當(dāng)金屬棒速度達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，則一定是處于平衡狀態(tài)，原因是安培力受到速度約束的．還巧妙用磁通量的變化去求出面積從而算出棒的距離．最后線框的總磁通量不變時(shí)，金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流是解題的突破點(diǎn)．