Question

11．如圖所示，質(zhì)量為m的由絕緣材料制成的球與質(zhì)量為M=19m的金屬球并排懸掛，擺長相同，均為L．現(xiàn)將絕緣球拉至與豎直方向成θ=60°的位置自由釋放，擺至最低點與金屬球發(fā)生彈性碰撞．在平衡位置附近存在垂直于紙面的磁場，已知由于磁場的阻尼作用，金屬球總能在下一次碰撞前停在最低點處，重力加速度為g．求：
（1）第一次碰撞后絕緣球的速度v₁
（2）經(jīng)過幾次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于30°
（你可能用到的數(shù)學(xué)知識：sin30°=0.5，cos30°=0.866，0.81²=0.656，0.81³=0.531，0.81⁴=0.430，0.81⁵=0.349，0.81⁶=0.282，0.81⁷=0.229，0.81⁸=0.185）

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)機械能守恒定律求出第一次碰撞前絕緣球的速度，然后根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律求出第一次碰撞后小球的速度v₁．
（2）對速度表達式分析，求出碰撞n次后的速度表達式，再根據(jù)機械能守恒定律求出碰撞n次后反彈的最大角度，結(jié)合題意討論即可．

解答 解：（1）絕緣球下擺過程機械能守恒，由機械能守恒定律得：
mgL（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…①
解得：v₀=$\sqrt{gL}$；
兩球碰撞過程動量守恒，以絕緣球的初速度方向為正方向，由動量守恒定律得：
mv₀=mv₁+Mv_M …②
在碰撞過程中由機械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv_M²…③
聯(lián)立②③解得：v₁=$\frac{m-M}{m+M}$v₀=-$\frac{9}{10}$v₀=-$\frac{9}{10}$$\sqrt{gL}$，負(fù)號表示方向與碰撞前方向相反，向右；
（3）設(shè)在第n次碰撞前絕緣球的速度為v_n-1，碰撞后絕緣球、金屬球的速度分別為v_n和V_n．
由于碰撞過程中動量守恒和機械能守恒，以碰撞前絕緣球的速度方向為正方向，
由動量守恒定律得：mv_n-1=mv_n+MV_n…④
由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv_n-1²=$\frac{1}{2}$mv_n²+$\frac{1}{2}$MV_n²…⑤
由④、⑤兩式及M=19m解得：v_n=-$\frac{9}{10}$v_n-1
第n次碰撞后絕緣球的動能為：E_n=$\frac{1}{2}$mv_n²=（0.81）ⁿ E₀…⑥
E₀為第1次碰撞前絕緣球的動能，即初始能量．
得：$\frac{{E}_{n}}{{E}_{0}}$=（0.81）ⁿ…⑦
而絕緣球在θ=30°與θ=60°處的勢能之比為：$\frac{mgL（1-cos30°）}{mgL（1-cos60°）}$≈0.270…⑧
根據(jù)上面數(shù)學(xué)知識，0.81⁶=0.282，0.81⁷=0.229，因此，經(jīng)過7次碰撞后θ將小于30°．
答：（1）第一次碰撞后絕緣球的速度v₁為$\sqrt{gL}$．
（2）經(jīng)過7次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于30°．

點評 本題關(guān)鍵求出第一次反彈后的速度和反彈后細(xì)線與懸掛點的連線與豎直方向的最大角度，然后對結(jié)果表達式進行討論，得到第n次反彈后的速度和最大角度，再結(jié)合題意求解．