Question

3．如圖所示，圓柱形區(qū)域的半徑為R，在區(qū)域同有垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場；對稱放置的三個(gè)相同的電容器．極板間距為d，極板電壓為U，與磁場相切的極板，在切點(diǎn)處均有一小孔，一帶電粒子，質(zhì)量為m，帶電荷量為+q，自某電容器極板上的M點(diǎn)由靜止釋放，M點(diǎn)在小孔a的正上方，若經(jīng)過一段時(shí)間后，帶電粒子又恰好返回M點(diǎn)，不計(jì)帶電粒子所受重力．求：
（1）帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（2）U與B所滿足的關(guān)系式；
（3）帶電粒子由靜止釋放到再次返回M點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）畫出運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求得半徑；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出電子加速后的速度，然后由洛倫茲力提供向心力即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）求出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的軌跡求出電子在各段上的時(shí)間，求和即可．

解答 解：（1）磁場中原半徑r圓心角為120°的圓弧與半徑R圓心角為60°的軌道圓弧的兩段詳解在相同的兩點(diǎn)，由幾何關(guān)系解出：r=$\sqrt{3}$R；
（2）設(shè)粒子加速后獲得的速度為v，進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R．
由動(dòng)能定理得：qU=$\frac{1}{2}$mv²-0，
由洛倫茲力提供向心力，得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
由幾何關(guān)系得：r=Rtan60°
聯(lián)立以上公式得：B=$\frac{1}{R}$$\sqrt{\frac{2mU}{3q}}$；
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)電荷在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式T=$\frac{2πm}{qB}$=2πR$\sqrt{\frac{3m}{2qU}}$，
依題意分析可知粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)一次所經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{1}{6}$T，故粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t₁=3×$\frac{1}{6}$=πR$\sqrt{\frac{3m}{2qU}}$，
而粒子在勻強(qiáng)電場中做一類 似豎直上拋運(yùn)動(dòng)，所經(jīng)歷的時(shí)間t₂，由s=$\frac{1}{2}$at²可求得：t₂=2$\sqrt{\frac{2d}{a}}$．
因?yàn)閍=$\frac{qU}{md}$，
所以t₂=2d$\sqrt{\frac{2m}{qU}}$，粒子在電場中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：6d$\sqrt{\frac{2m}{qU}}$．?
帶電粒子由靜止釋放到再次返回M點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間為：?
t=t₁+3t₂=πR$\sqrt{\frac{3m}{2qU}}$+6d$\sqrt{\frac{2m}{qU}}$．?
答：（1）帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為$\sqrt{3}$R；
（2）U與B所滿足的關(guān)系式為：B=$\frac{1}{R}$$\sqrt{\frac{2mU}{3q}}$；
（3）帶電粒子由靜止釋放到再次返回M點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間為πR$\sqrt{\frac{3m}{2qU}}$+6d$\sqrt{\frac{2m}{qU}}$．

點(diǎn)評 帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng)，要注意靈活選擇物理規(guī)律，電場中一般由動(dòng)能定理或類平拋的規(guī)律求解，而磁場中粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)由向心力公式及幾何關(guān)系求解．