Question

7．空間豎直邊界AB右側(cè)有一緊靠AB邊界的直角三角形區(qū)域MNO，∠MNO=30°，區(qū)域MNO外存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，邊界AB右側(cè)所有區(qū)域均存在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，現(xiàn)有兩個(gè)相同的彈性小球，質(zhì)量均為m，所帶電量為q且電性相同，其中b球靜止于∠MON的角平分線上，a球在MNO區(qū)域內(nèi)沿MO邊界運(yùn)動(dòng)，速度為v，t=0時(shí)刻從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后能與b球發(fā)生彈性碰撞，且碰撞時(shí)間極短，碰后a與b速度交換，重力加速度為g，
求：（1）a、b所帶電荷電性及空間內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）帶電小球b開(kāi)始靜止位置距O點(diǎn)的距離為多少？帶電小球a從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)后運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間與b球第一次相碰？
（3）若不改變MNO區(qū)域的形狀，要求帶電小球b從MNO進(jìn)入磁場(chǎng)后能回到MNO區(qū)域，則OM邊至少多長(zhǎng)？

Answer 1

分析 （1）b球靜止，處于平衡狀態(tài)，應(yīng)用平衡條件求出電場(chǎng)強(qiáng)度、判斷粒子電性．
（2）求出小球在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，然后求出勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，最后求出總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，應(yīng)用幾何知識(shí)求出OM的邊長(zhǎng)．

解答 解：（1）b球靜止，處于平衡狀態(tài)，由平衡條件得：mg=qE，解得：E=$\frac{mg}{q}$，
電場(chǎng)方向豎直向上，a、b兩粒子都帶負(fù)電；
（2）a球進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：R=$\frac{mv}{qB}$，
粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

由幾何知識(shí)可知，圓周運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)：l=$\sqrt{3}$R，
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
a球進(jìn)入MNO區(qū)域時(shí)速度方向與邊界ON的夾角為60°，
此后a球做勻速直線運(yùn)動(dòng)，與b球碰撞，
可求得b球距O點(diǎn)的距離：$\frac{\sqrt{3}}{2}$l=$\frac{3}{2}$R=$\frac{3mv}{2qB}$，
a球在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$，
圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為：$\frac{4π}{3}$，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₁=$\frac{2}{3}$T=$\frac{4πm}{3qB}$，
穿過(guò)ON邊界后勻速運(yùn)動(dòng)到與b球相碰撞的時(shí)間：t₂=$\frac{lsin30°}{v}$=$\frac{\sqrt{3}m}{2qB}$，
帶電小球a從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)后運(yùn)動(dòng)與b球第一次相碰需要的時(shí)間：
t=t₁+t₂=$\frac{4πm}{3qB}$+$\frac{\sqrt{3}m}{2qB}$；
（3）a小球與b球碰撞時(shí)，由題意可知，a、b交換速度，此后b球以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)，
b進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑：R=$\frac{mv}{qB}$，
當(dāng)b球運(yùn)動(dòng)軌跡與AB邊界相切時(shí)，MNO的面積最小，
此時(shí)MO邊長(zhǎng)為：R+$\frac{\sqrt{3}}{2}$R=$\frac{（2+\sqrt{3}）mv}{2qB}$；
答：（1）a、b帶負(fù)電荷，空間內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度大小為$\frac{mg}{q}$，方向：豎直向上；
（2）帶電小球b開(kāi)始靜止位置距O點(diǎn)的距離為：$\frac{3mv}{2qB}$，帶電小球a從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)后運(yùn)動(dòng)時(shí)間：$\frac{4πm}{3qB}$+$\frac{\sqrt{3}m}{2qB}$后與b球第一次相碰．
（3）若不改變MNO區(qū)域的形狀，要求帶電小球b從MNO進(jìn)入磁場(chǎng)后能回到MNO區(qū)域，則OM邊至少為$\frac{（2+\sqrt{3}）mv}{2qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電小球在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，對(duì)小球正確受力分析，分析清楚其運(yùn)動(dòng)過(guò)程，應(yīng)用平衡條件、牛頓第二定律與幾何知識(shí)可以解題，分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的關(guān)鍵．