Question

3．如圖在xOy坐標(biāo)系第Ⅰ象限，磁場(chǎng)方向垂直xOy平面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B=1.0T；電場(chǎng)方向水平向右，電場(chǎng)強(qiáng)度大小均為E=$\sqrt{3}$N/C．一個(gè)質(zhì)量m=2.0×10^-7kg，電荷量q=2.0×10^-6C的帶正電粒子從x軸上P點(diǎn)以速度v₀射入第Ⅰ象限，恰好在xOy平面中做勻速直線運(yùn)動(dòng)．0.10s后改變電場(chǎng)強(qiáng)度大小和方向，帶電粒子在xOy平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，取g=10m/s²．求：
（1）帶電粒子在xOy平面內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度v₀大小和方向；
（2）帶電粒子在xOy平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向；
（3）若勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)恰好未離開(kāi)第Ⅰ象限，x軸上入射P點(diǎn)應(yīng)滿足何條件？

Answer 1

分析 （1）粒子在復(fù)合場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受力平衡，受力分析后應(yīng)用平衡條件求解即可．
（2）帶電粒子在xoy平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力F_電必須與重力平衡，洛倫茲力提供向心力．
（3）帶電粒子勻速圓周運(yùn)動(dòng)恰好未離開(kāi)第1象限，圓弧左邊與y軸相切，畫(huà)出圖象，找出軌道半徑，利用洛倫茲力提供向心力公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）如圖粒子在復(fù)合場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度v₀與x軸夾角為θ，依題意得：粒子合力為零    ①
重力mg=2.0×10^-6N，電場(chǎng)力F_電=Eq=2$\sqrt{3}$×10^-6N

洛倫茲力$f=\sqrt{（mg）^{2}+{{F}_{電}}^{2}}=\sqrt{4+12}×1{0}^{-6}$N=4.0×10^-6N   ②
由f=qv₀B得，代入數(shù)據(jù)解得  v₀=2 m/s                ③
$tanθ=\frac{qE}{mg}$=$\sqrt{3}$，解得  θ=60°               ④
速度v₀大小2 m/s，方向斜向上與x軸夾角為60°
（2）帶電粒子在xOy平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力F_電必須與重力平衡，洛倫茲力提供向心力．
故電場(chǎng)強(qiáng)度$E=\frac{mg}{q}=1.0N/C$   ⑤
 方向豎直向上； ⑥
（3）如圖帶電粒子勻速圓周運(yùn)動(dòng)恰好未離開(kāi)第1象限，
圓弧左邊與y軸相切N點(diǎn)；          ⑦
PQ勻速直線運(yùn)動(dòng)，PQ=v₀t=0.2 m     ⑧
洛倫茲力提供向心力，$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$    ⑨

整理并代入數(shù)據(jù)得R=0.2 m                        ⑩
由幾何知識(shí)得OP=R+Rsin60°-PQcos60°═0.27 m    
x軸上入射P點(diǎn)離O點(diǎn)距離至少為0.27 m
答：（1）帶電粒子在xOy平面內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度v₀大小為2m/s，方向斜向上與x軸夾角為60°；
（2）帶電粒子在xOy平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為1N/C，方向豎直向上；
（3）若勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)恰好未離開(kāi)第Ⅰ象限，x軸上入射P點(diǎn)應(yīng)滿足入射P點(diǎn)離O點(diǎn)距離至少為0.27 m．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)一般有勻速直線運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)和一般的曲線運(yùn)動(dòng)；勻速直線運(yùn)動(dòng)一般平衡條件求解，圓周運(yùn)動(dòng)由洛侖茲力充當(dāng)向心力，一般的曲線運(yùn)動(dòng)一般由動(dòng)能定理求解．臨界問(wèn)題需要畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，找出臨界條件進(jìn)行求解．