Question

15．如圖所示，游樂列車由許多節(jié)車廂組成．列車全長(zhǎng)為L(zhǎng)，圓形軌道半徑為R，（R遠(yuǎn)大于一節(jié)車廂的高度h和長(zhǎng)度l，但L＞2πR）．已知列車的車輪是卡在導(dǎo)軌上的光滑槽中只能使列車沿著圓周運(yùn)動(dòng)而不能脫軌．試問：列車在水平軌道上應(yīng)具有多大初速度V₀，才能使列車通過圓形軌道？

Answer 1

分析 先根據(jù)向心力公式求出車廂恰能滑到最高處時(shí)的臨界速度，對(duì)布滿在軌道上車廂整體運(yùn)用動(dòng)能定理列式即可求解．

解答 解：滑上軌道前列車速度的最小值v₀與軌道最高處車廂應(yīng)具有的速度的最小值v相對(duì)應(yīng)．這里v代表車廂恰能滑到最高處，且對(duì)軌道無彈力的臨界狀態(tài)．由：
mg=$\frac{{mv}^{2}}{R}$
得：$v=\sqrt{gR}$
另外列車勢(shì)能還增加了M′gh′，其中M′為布滿在軌道上車廂的質(zhì)量，
M′=M$\frac{2πR}{L}$
h為它們的平均高度，由幾何關(guān)系可知：h′=R
由以上分析可得：
$\frac{1}{2}$Mv₀²=$\frac{1}{2}$Mv²+M$\frac{2πR}{L}$gR
解得：${v}_{0}=\sqrt{gR+\frac{4{πg(shù)R}^{2}}{L}}$
答：列車在運(yùn)行到圓環(huán)前的速度v₀至少為$\sqrt{gR+\frac{4{πg(shù)R}^{2}}{L}}$，才能使整個(gè)列車安全通過圓環(huán)軌道．

點(diǎn)評(píng) 本題以豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)為模型，考查了向心力公式及動(dòng)能定理的直接應(yīng)用，難度適中．