Question

7．某倉庫采用如圖所示的裝置來傳送貨物，它由兩臺皮帶傳送機(jī)組成，一臺水平傳送，A、B兩端相距3m，另一臺傾斜，傳送帶與地面的傾角θ=37°，C、D兩端相距4.45m，B、C相距很近．水平部分AB以5m/s的速率順時針轉(zhuǎn)動．將一袋大米放在A端，到達(dá)B端后，速度大小不變地傳到傾斜的CD部分，米袋與兩傳送帶間的動摩擦因數(shù)均為0.5．（取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，$\sqrt{7.2}$=2.68）試求：

（1）米袋從A端傳到B端的時間及米袋到達(dá)B端時的速度的大�。�
（2）CD部分傳送帶不運(yùn)轉(zhuǎn)，求米袋沿傳送帶所能上升的最大距離；
（3）若要米袋能被送到D端，求CD部分順時針運(yùn)轉(zhuǎn)的速度應(yīng)滿足的條件及米袋從C端到D端所用時間的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）米袋放上傳送帶先做勻加速直線運(yùn)動，求出米袋達(dá)到傳送帶速度所需的時間和位移，判斷米袋在整個過程中的運(yùn)動，從而根據(jù)運(yùn)動學(xué)規(guī)律求出米袋沿傳送帶從A運(yùn)動到B的時間．
（2）由牛頓第二定律可求得米的加速度，因米袋的最大速度只能為5m/s，則應(yīng)判斷米袋到達(dá)B點(diǎn)時是否已達(dá)最大速度，若沒達(dá)到，則由位移與速度的關(guān)系可求得B點(diǎn)速度，若達(dá)到，則以5m/s的速度沖上CD；在CD面上由牛頓第二定律可求得米袋的加速度，則由位移和速度的關(guān)系可求得上升的最大距離；
（3）米袋在CD上應(yīng)做減速運(yùn)動，若CD的速度較小，則米袋的先減速到速度等于CD的速度，然后可能減小到零，此為最長時間；而若傳送帶的速度較大，則米袋應(yīng)一直減速，則可求得最短時間；

解答 解：（1）米袋在AB上加速時加速度為a₁
μmg=ma₁，解得${a}_{1}=μg=0.5×10m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$，
當(dāng)米袋經(jīng)時間t₁速度達(dá)到v₀=5m/s，${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}=\frac{5}{5}s=1s$．
該過程米袋運(yùn)動的距離為${s}_{1}=\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{1}=\frac{5}{2}×1m=2.5m$．
以后，米袋勻速運(yùn)動，再經(jīng)t₂到B點(diǎn)，${t}_{2}=\frac{{L}_{AB}-{s}_{1}}{{v}_{0}}=\frac{3-2.5}{5}s=0.1s$．
故米袋從A到B的時間為t=t₁+t₂=1.1s；到B點(diǎn)時速度為v_B=5m/s．
（2）CD部分傳送帶不運(yùn)轉(zhuǎn)時，米袋在CD上加速度為a₂，由牛頓第二定律有：
mgsinθ+μmgcosθ=ma₂，
解得a₂=gsinθ+μgcosθ=10×0.6+0.5×8m/s²=10m/s²．

米袋能上升的最大距離為${s}_{m}=\frac{{{v}_{B}}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{25}{2×10}m=1.25m$．
（3）設(shè)CD部分傳送帶速度為v時米袋恰能到達(dá)D點(diǎn)，米袋在CD傳送帶上速度大于v時做加速度為${a}_{3}=gsinθ+μgcosθ=10m/{s}^{2}$的勻減速運(yùn)動，速度小于v后做加速度為a₄=gsinθ-μgcosθ=6-0.5×8m/s²=2m/s²的勻減速運(yùn)動，直到速度減為零．
由位移關(guān)系有：$\frac{{{v}_{B}}^{2}-{v}^{2}}{2{a}_{3}}+\frac{{v}^{2}}{2{a}_{4}}=4.45m$，代入數(shù)據(jù)解出v=4m/s，
米袋能被送到D端，則CD部分順時針運(yùn)轉(zhuǎn)的速度應(yīng)v_CD≥4m/s，
CD部分傳送帶速度為v=4m/s時，米袋從C到D的時間最長，${t}_{max}=\frac{{v}_{B}-v}{{a}_{3}}+\frac{v}{{a}_{4}}$，
代入數(shù)據(jù)解得t_max=2.1s．
若CD部分傳送帶速度較大，能使米袋在CD部分所受摩擦力一直沿斜面向上，即米袋從C到D一直做加速度為${a}_{4}=gsinθ-μgcosθ=6-4m/{s}^{2}$=2m/s²的勻減速運(yùn)動，則所用時間最短，${L}_{CD}={v}_{B}{t}_{min}-\frac{1}{2}{a}_{4}{{t}_{min}}^{2}$，代入數(shù)值$4.45=5t-\frac{1}{2}×2{t}^{2}$，解得t_min=1.16s．
故所求時間范圍是1.16s≤t≤2.1s．
答：（1）米袋從A端傳到B端的時間為1.1s，米袋到達(dá)B端時的速度的大小為5m/s
（2）米袋沿傳送帶所能上升的最大距離為1.25m．
（3）米袋從C端到D端所用時間的取值范圍為1.16s≤t≤2.1s．

點(diǎn)評 本題是個多過程問題，關(guān)鍵要理清各個階段的運(yùn)動情況，結(jié)合牛頓運(yùn)動定律和運(yùn)動學(xué)進(jìn)行求解．