7.如圖所示是位于X星球表面的豎直光滑圓弧軌道,宇航員實驗發(fā)現(xiàn),當(dāng)位于軌道最低點的小球速度至少為v0時,才能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運動.已知圓弧軌道半徑為r,X星球的半徑為R,萬有引力常量為G.求:(結(jié)果可以用根式表示)
(1)X星球表面重力加速度;
(2)X星球的第一宇宙速度;
(3)環(huán)繞X星球的軌道半徑為2R的衛(wèi)星的周期.

分析 (1)小球剛好能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運動,有重力充當(dāng)向心力,小球在光滑圓弧軌道運動的過程中,只有重力做功,機械能守恒,根據(jù)機械能守恒得出重力加速度的大。
(2)根據(jù)萬有引力提供向心力,以及萬有引力等于重力,求第一宇宙速度
(3)根據(jù)萬有引力提供向心力,以及萬有引力等于重力,聯(lián)立解出環(huán)月衛(wèi)星的周期

解答 解:( 1)設(shè)X星球表面重力加速度為g,質(zhì)量為M,小球剛好能做完整的圓周運動;則小球在最高點時,僅由重力提供向心力;根據(jù)牛頓第二定律有:
mg=$m\frac{{V}^{2}}{r}$
小球從軌道最低點到最高點的過程中,由動能定理有:
-mg×$2r=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{V}_{0}^{2}$
聯(lián)立兩式可得:g=$\frac{{V}_{0}^{2}}{5r}$
(2)在X星球發(fā)射衛(wèi)星的最小速度為月球第一宇宙速度
$\frac{GM{m}_{1}}{{R}^{2}}={m}_{1}\frac{{V}_{min}^{2}}{R}$
又$\frac{GM{m}_{2}}{{R}^{2}}={m}_{2}g$
聯(lián)立方程解得:Vmin=${V}_{0}\sqrt{\frac{R}{5r}}$
(3)環(huán)繞X星球的軌道半徑為2R的衛(wèi)星由萬有引力提供向心力,有
$\frac{GMm}{4{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}2R$

解得T=$4πR\sqrt{\frac{R}{GM}}$$•\sqrt{2}$=$4π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$=$\frac{4π}{{V}_{0}}\sqrt{10Rr}$
答:(1)X星球表面重力加速度$\frac{{V}_{0}^{2}}{5r}$;
(2)X星球的第一宇宙速度${V}_{0}\sqrt{\frac{R}{5r}}$;
(3)環(huán)繞X星球的軌道半徑為2R的衛(wèi)星的周期$\frac{4π}{{V}_{0}}\sqrt{10Rr}$

點評 解決本題的關(guān)鍵會運用機械能守恒定律定律解題,知道小球在內(nèi)軌道運動恰好過最高點的臨界條件.以及掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力

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