Question

17．在某質(zhì)量分布均勻的星球表面上，宇航員站在一斜坡上的P點，沿水平方向以初速度v₀拋出一個小球，測得小球經(jīng)時間t落到斜坡上另一點Q上，斜面的傾角為α，已知該星球半徑為R，萬有引力常量為G，已知球的體積公式是V=$\frac{4}{3}$πR³，求：
（1）該星球表面的重力加速度g；
（2）該星球的密度；
（3）該星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)小球的平拋運動求出星球表面的重力加速度．
（2）根據(jù)密度公式求得星球的密度；
（3）星球的第一宇宙速度即為近地軌道圓周運動的線速度，根據(jù)重力與萬有引力相等知，近地軌道運動重力提供圓周運動向心力求解即可．

解答 解：（1）小球在斜面上平拋并落在斜面上知，小球平拋的位移與水平方向夾角為θ，根據(jù)平拋知識知：
小球在水平方向做勻速直線運動，位移為：x=v₀t
小球在豎直方向做自由落體運動，位移為：y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由題意有：tan$θ=\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$
由此可得星球表面的重力加速度為：g=$\frac{2{v}_{0}tanθ}{t}$
（2）對應(yīng)星球表面的物體m，有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$
又：V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$
所以星球的密度：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3{v}_{0}tanα}{2πGRt}$
（3）星球表面的衛(wèi)星圓周運動時重力提供圓周運動向心力有：
mg=$\frac{{v}^{2}}{R}$
所以星球的第一宇宙速度為：v=$\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2{v}_{0}tanθ}{t}}R$=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}Rtanθ}{t}}$
答：（1）該星球表面的重力加速度為$\frac{2{v}_{0}tanθ}{t}$；（2）該星球的密度是$\frac{3{v}_{0}tanα}{2πGRt}$；（3）該星球的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{2{v}_{0}Rtanθ}{t}}$．

點評 本題關(guān)鍵是抓住能從斜面上平拋落到斜面上得到平拋物體位移的關(guān)系，這是正確解題的關(guān)鍵，知道第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的運行速率，由重力提供圓周運動向心力．