Question

18．如圖所示，質(zhì)量M=1kg的木板在外力，的作用下，靜置于傾角θ=30°、足夠長的固定光滑斜面上．質(zhì)量m=1kg的小物塊（可視為質(zhì)點）以初速度v=6.0m/s從木板的下端沖上木板，在此同時撤去外力F，（已知小物塊與木板之間的動摩擦因數(shù)μ=$\frac{2}{5}$$\sqrt{3}$，重力加速度g=10m/s²）．
（1）在小物塊剛沖入時，木塊m和木板M的加速度．
（2）若小物塊恰好不從木板的上端滑出，求木板的長度l為多少？
（3）木板M沿斜面向上位移的最大值．

Answer 1

分析 （1）小物塊沖上木塊后，分別對木塊和木板進行受力分析，沿斜面方向上利用牛頓運動定律列式，即可求得木塊m和木板M的加速度．
（2）小物塊剛沖上木板后，木塊做勻加速直線運動，木板做勻加速直線運動，先求得速度相同時所需要的時間，分別求出兩者的位移，位移之差的大小即為木板的長度．
（3）木板的運動可分為兩個過程，一是向上加速度的過程，一是和木塊一起向上減速運動的過程，分別求得這兩個過程的位移，即可求得木板M沿斜面向上位移的最大值．

解答 解：（1）小物塊沖入后，木板受到的沿斜面向上的滑動摩擦力為：f=μmgcosθ=6N，
木板重力沿斜面向下的分力為：G_x=mgsinθ=5N
由于f＞G_x，木板M將沿斜面向上滑動．
由（1）得木板M先向上加速，對M有：
Ma₂=f-G_x
f=μmgcosθ
G_x=Mgsinθ
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：a₂=1m/s²，方向沿斜面向上
對m有：
ma₁=f+G_x1
f=μmgcosθ
G_x1=mgsinθ
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：a₂=11m/s²，方向沿斜面向下
（2）小物塊將向上減速到與木板M的速度相同的過程有：
v₀-a₁t₁=v₁
0+a₂t₁=v₁
解得：t₁=0.5s
v₁=0.5m/s
所以，S_m=$\frac{{v}_{0}+{v}_{1}}{2}{t}_{1}$
S_M=$\frac{0+{v}_{1}}{2}{t}_{1}$
木板長為：
l=△s=S_m-S_M=$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{1}$=1.5m
（3）設M、m速度相同后一起運動，則有：
a=gsinθ，
對m有：f_靜+mgsinθ=ma，
解得：f_靜=0＜f_m，假設合理，即m、M將一起上升．
${S}_{M}^{′}$=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2a}$=0.025m
所以S_M+${S}_{M}^{′}$=0.15m
答：（1）在小物塊剛沖入時，木塊m和木板M的加速度分別為11m/s²，1m/s²，．
（2）若小物塊恰好不從木板的上端滑出，木板的長度l為1.5m
（3）木板M沿斜面向上位移的最大值為0.15m．

點評 動力學的兩類基本問題：已知力求運動，已知運動求力
①根據(jù)物體的受力情況，可由牛頓第二定律求出物體的加速度，再通過運動學的規(guī)律確定物體的運動情況；根據(jù)物體的運動情況，可由運動學公式求出物體的加速度，再通過牛頓第二定律確定物體所受的外力．
②分析這兩類問題的關(guān)鍵是抓住受力情況和運動情況的橋梁--加速度．
應用牛頓運動定律解題的一般步驟：
①認真分析題意，明確已知條件和所求量；
②選取研究對象，所選取的研究對象可以是一個物體，也可以是幾個物體組成的系統(tǒng)，同一題，根據(jù)題意和解題需要也可先后選取不同的研究對象；
③分析研究對象的受力情況和運動情況；
④當研究對對象所受的外力不在一條直線上時；如果物體只受兩個力，可以用平行四力形定則求其合力；如果物體受力較多，一般把它們正交分解到兩個方向上，分別求合力；如果物體做直線運動，一般把各個力分解到沿運動方向和垂直運動方向上；
⑤根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式列方程，物體所受外力，加速度、速度等都可以根據(jù)規(guī)定的正方向按正、負值代公式，按代數(shù)和進行運算；
⑥求解方程，檢驗結(jié)果，必要時對結(jié)果進行討論．