Question

8．如圖所示，斜面光滑且傾角θ=30°，斜面與水平面圓滑對接，已知兩個(gè)完全一樣的小滑塊A、B靜止在斜面上的初始位置離斜面底端O點(diǎn)的距離分別為L_A=L，L_B=4L，水平面粗糙且小滑塊之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，忽略小滑塊在經(jīng)過O處得能量損失，重力加速度大小為g，求：
（1）小滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大�。�
（2）兩小滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間差．
（3）若動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.75，當(dāng)B滑塊滑上水平面后，追上A滑塊所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）對A和B做受力分析，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，由于AB完全一樣，故分析其中一個(gè)即可；
（2）根據(jù)位移時(shí)間公式求出兩個(gè)小滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，作差即得結(jié)果；
（3）根據(jù)速度公式求出兩個(gè)滑塊到達(dá)O點(diǎn)的速度，分析B到達(dá)水平面時(shí)A是否停止運(yùn)動(dòng)，若A靜止，根據(jù)A的運(yùn)動(dòng)位移求出B追上A的時(shí)間，若A沒有靜止，則直接列方程求解．

解答 解：（1）設(shè)AB的質(zhì)量均為m，在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小為a，對A分析，受重力和斜面對A的支持力N，
垂直于斜面方向：N=mgcosθ
平行于斜面方向：mgsinθ=ma
解得：a=gsinθ=$\frac{g}{2}$
（2）由位移時(shí)間公式，得A在斜面上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\sqrt{\frac{2L}{gsinθ}}$=2$\sqrt{\frac{L}{g}}$
B在斜面上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₁=$\sqrt{\frac{8L}{gsinθ}}$=4$\sqrt{\frac{L}{g}}$
則兩者時(shí)間差為：△t=${t}_{1}-t=\sqrt{\frac{8L}{gsinθ}}-\sqrt{\frac{2L}{gsinθ}}$=$\sqrt{\frac{2L}{gsinθ}}$=2$\sqrt{\frac{L}{g}}$
（3）A滑到O點(diǎn)時(shí)的速度：${v}_{A}=gsinθ•\sqrt{\frac{2L}{gsinθ}}=\sqrt{2gsinθL}$=$\sqrt{gL}$
B滑到O點(diǎn)時(shí)的速度：${v}_{B}=gsinθ•\sqrt{\frac{8L}{gsinθ}}=2\sqrt{2gsinθL}$=2$\sqrt{gL}$    ①
滑到水平面后，兩小滑塊均受摩擦力：f=μmg，
由牛頓第二定律得兩者加速度均為：a′=$\frac{f}{m}=\frac{μmg}{m}=μg$=$\frac{3}{4}g$    ②
A從滑到水平面到停止用時(shí)：${t}_{A}=\frac{{v}_{A}}{a′}=\frac{\sqrt{gL}}{\frac{3}{4}g}=\frac{4}{3}\sqrt{\frac{L}{g}}$＜△t，故B滑上水平面時(shí)，A已經(jīng)停止運(yùn)動(dòng)，
此時(shí)A停止的位移到O點(diǎn)距離為：x=$\frac{{{v}_{A}}^{2}}{2a′}=\frac{gL}{2×\frac{3}{4}g}=\frac{2}{3}L$   ③
設(shè)B滑塊滑上水平面后，追上A滑塊所用的時(shí)間所用的時(shí)間為t′，根據(jù)位移時(shí)間公式得：${v}_{B}t′-\frac{1}{2}a′t{′}^{2}=x$   ④
聯(lián)立①②③④解得：t′=$\frac{4}{3}\sqrt{\frac{g}{L}}$，
答：（1）小滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小為$\frac{g}{2}$．
（2）兩小滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間差位2$\sqrt{\frac{L}{g}}$．
（3）若動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.75，當(dāng)B滑塊滑上水平面后，追上A滑塊所用的時(shí)間為$\frac{4}{3}\sqrt{\frac{g}{L}}$．

點(diǎn)評 本題考查內(nèi)容不難，由于是未知量和已知量混雜在一起，看起來比較復(fù)雜，切入點(diǎn)是隔離AB分析各自的分段運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解．