Question

7．一平直木板C靜止在光滑的水平面上，今有兩小物塊A和B分別以2v₀和v₀的初速度沿同一直線從長木板C兩端相向水平地滑上長木板，如圖所示．設(shè)物塊A、B與長木板C間的動摩擦因數(shù)為μ，A、B、C三者質(zhì)量相等．
（1）若A、B兩物塊不發(fā)生碰撞，則由開始滑上C到A、B都靜止在C上為止，B通過的總路程為多少？
（2）為使A、B兩物塊不發(fā)生碰撞，長木板C至少多長？

Answer 1

分析 （1）A、B剛滑上C時(shí)，所受的滑動摩擦力的方向與相對運(yùn)動的方向相反，根據(jù)滑動摩擦力公式求摩擦力大小，再根據(jù)牛頓第二定律求加速度；
A、B 剛滑上C時(shí)都做勻減速運(yùn)動，由速度時(shí)間公式求出B速度減為零所用時(shí)間，再對A，運(yùn)用速度公式求解A的速度大小；
分段研究本題：第一階段：B勻減速到速度為零的過程；第二階段：B速度減為零時(shí)此時(shí)，A繼續(xù)做減速運(yùn)動，B、C相對靜止一起在A的摩擦力作用下做加速運(yùn)動，直到A、B、C相對靜止．由牛頓第二定律、運(yùn)動學(xué)公式及物體間速度關(guān)系、位移關(guān)系求解．
（2）系統(tǒng)在水平方向不受外力的作用，根據(jù)動量守恒定律先求出最終的共同速度，再結(jié)合功能關(guān)系即可求出．

解答 解：（1）設(shè)A、B、C的加速度分別為a_A、a_B、a_C，由牛頓第二定律可知：
   a_A=$\frac{μmg}{m}$=μg
   a_B=$\frac{μmg}{m}$=μg
   a_C=$\frac{μmg-μmg}{m}$=0                              
A、B 剛滑上C時(shí)都做勻減速運(yùn)動，C靜止不動，設(shè)經(jīng)t₁時(shí)間B速度減為零，對B由運(yùn)動學(xué)公式有：
   v₀=a_Bt₁
解得：t₁=$\frac{{v}_{0}}{μg}$                                        
設(shè)經(jīng)t₁時(shí)間后A的速度為v_A，對A由運(yùn)動學(xué)公式有：
 v_A=2v₀-a_At₁                                       
解得：v_A=v₀                                                                                    
設(shè)B在t₁時(shí)間內(nèi)的位移為x₁，由運(yùn)動學(xué)公式有：
-2a_Bx₁=0-${v}_{0}^{2}$
解得：x₁=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$                                         
此時(shí)，A繼續(xù)做減速運(yùn)動，B、C相對靜止一起在A的摩擦力作用下做加速運(yùn)動，直到A、B、C相對靜止．設(shè)此階段B、C的加速度為a_BC，由牛頓第二定律有：
  a_BC=$\frac{μmg}{2m}$=$\frac{1}{2}μ$g                                               
設(shè)A、B、C經(jīng)t₂時(shí)間共速，B、C的位移為x₂，由運(yùn)動學(xué)公式有：
  2v₀-a_At₂=a_BCt₂
  x₂=$\frac{1}{2}{a}_{BC}{t}_{2}^{2}$                                    
解得：t₂=$\frac{2{v}_{0}}{3μg}$，x₂=$\frac{{v}_{0}^{2}}{9μg}$
綜上，總時(shí)間：t=t₁+t₂=$\frac{5{v}_{0}}{3μg}$                       
B通過的總路程為：x=x₁+x₂=$\frac{11{v}_{0}^{2}}{18μg}$ 
（2）選擇向右為正方向，由于水平方向三個(gè)物體組成的系統(tǒng)動量守恒，則：
m•2v₀-mv₀=3mv
所以：v=$\frac{1}{3}{v}_{0}$
在運(yùn)動的過程中，系統(tǒng)減小的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為動能，為使A、B兩物塊不發(fā)生碰撞，即A與B的位移大小的和恰好等于長木板C的長度．由于A與C、B與C之間的摩擦力都是：
f=μmg
則：$μmg•L=\frac{1}{2}m（2{v}_{0}）^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}•3m•{v}^{2}$
聯(lián)立得：$L=\frac{{v}_{0}^{2}}{μg}$
答：（1）若A、B兩物塊不發(fā)生碰撞，則由開始滑上C到A、B都靜止在C上為止，B通過的總路程為$\frac{11{v}_{0}^{2}}{18μg}$；
（2）為使A、B兩物塊不發(fā)生碰撞，長木板C至少長$\frac{{v}_{0}^{2}}{μg}$．

點(diǎn)評 此題涉及三個(gè)物體多過程的動力學(xué)問題，除了隔離研究三個(gè)物體的運(yùn)動情況外，關(guān)鍵是找出物體之間的速度關(guān)系、位移關(guān)系．