Question

3．宇航員駕駛一艘宇宙飛船飛臨X星球，然后在該星球上做火箭發(fā)射實驗．微型火箭點火后加速上升4s后熄火，測得火箭上升的最大高度為80m，若火箭始終在垂直于星球表面的方向上運動，火箭燃料質量的損失及阻力忽略不計，且已知該星球的半徑為地球半徑的$\frac{1}{2}$，質量為地球質量的1/8，地球表面的重力加速度g₀取10m/s²．
（1）求該星球表面的重力加速度；
（2）求火箭點火加速上升時所受的平均推力與其所受重力的比值；
（3）若地球的半徑為6400km，求該星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根據黃金代換式，結合星球和地球的質量比和半徑之比求出重力加速度之比，從而得出星球表面的重力加速度．
（2）根據牛頓第二定律求出平均推力的大小，從而得出平均推力和所受重力的大小之比
（3）根據重力等于萬有引力求第一宇宙速度

解答 解：（1）根據$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$
地球表面${g}_{0}^{\;}=G\frac{{M}_{0}^{\;}}{{R}_{0}^{2}}$
聯立得$g=\frac{M{R}_{0}^{2}}{{M}_{0}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{g}_{0}^{\;}=\frac{1}{2}{g}_{0}^{\;}=5m/{s}_{\;}^{2}$
（2）加速上升階段：${h}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
減速上升階段：${h}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{2}}{2g}=\frac{（at）_{\;}^{2}}{2g}$
又${h}_{1}^{\;}+{h}_{2}^{\;}=80m$
解得$a=5m/{s}_{\;}^{2}$
根據牛頓第二定律有F-mg=ma
解得$\frac{F}{mg}=2$
（3）由$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
得$v=\sqrt{gR}=\sqrt{5×\frac{1}{2}×6400×1{0}_{\;}^{3}}m/s=4×1{0}_{\;}^{3}m/s$
答：（1）該星球表面的重力加速度$5m/{s}_{\;}^{2}$；
（2）火箭點火加速上升時所受的平均推力與其所受重力的比值2；
（3）若地球的半徑為6400km，該星球的第一宇宙速度$4×1{0}_{\;}^{3}m/s$．

點評 本題考查了牛頓第二定律、運動學公式和萬有引力定律的綜合運用，通過黃金代換式求出星球表面的重力加速度是解決本題的關鍵．