Question

12．如圖所示放在水平面上的小車(chē)上表面水平，AB是半徑為R的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道，下端B的切線(xiàn)水平且與平板車(chē)上表面平齊，車(chē)的質(zhì)量為M．現(xiàn)有一質(zhì)量為m的小滑塊，從軌道上端A處無(wú)初速釋放，滑到B端后，再滑到平板車(chē)上．若車(chē)固定不動(dòng)，小滑塊恰不能從車(chē)上掉下．（重力加速度為g）：
（1）求滑塊到達(dá)B端之前瞬間所受支持力的大�。�
（2）求滑塊在車(chē)上滑動(dòng)的過(guò)程中，克服摩擦力做的功；
（3）若車(chē)不固定，且地面光滑，把滑塊從A點(diǎn)正上方的P點(diǎn)無(wú)初速釋放，P點(diǎn)到A點(diǎn)的高度為h，滑塊從A點(diǎn)進(jìn)入軌道，最后恰停在車(chē)的中點(diǎn)．求車(chē)的長(zhǎng)度．（滑塊與小車(chē)的摩擦因數(shù)為μ）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出到達(dá)B點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出壓力的大�。�
（2）對(duì)滑上小車(chē)的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理求出克服摩擦力做功的大�。�
（3）根據(jù)動(dòng)能定理求出滑塊到達(dá)最低點(diǎn)的速度，結(jié)合動(dòng)量守恒求出滑塊和小車(chē)的共同速度，根據(jù)能量守恒定律求出車(chē)的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理得：
$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
解得：${v}_{B}=\sqrt{2gR}$，
根據(jù)牛頓第二定律得：$N-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
解得：N=3mg．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理得：$-{W}_{f}=0-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
解得：${W}_{f}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=mgR$．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理得：$mg（h+R）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：v=$\sqrt{2g（h+R）}$，
物塊與小車(chē)組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，規(guī)定物塊的速度方向?yàn)檎�方向，根�?jù)動(dòng)量守恒定律得：mv=（M+m）v′，
解得：$v′=\frac{mv}{M+m}$，
根據(jù)能量守恒得：$μmg\frac{L}{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）v{′}^{2}$，
解得：L=$\frac{2M（h+R）}{μ（M+m）}$．
答：（1）滑塊到達(dá)B端之前瞬間所受支持力的大小為3mg；
（2）克服摩擦力做的功為mgR；
（3）車(chē)的長(zhǎng)度為$\frac{2M（h+R）}{μ（M+m）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理、動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律的綜合運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，對(duì)于第三問(wèn)，也可以根據(jù)動(dòng)力學(xué)知識(shí)求解，但是沒(méi)有運(yùn)用動(dòng)量和能量綜合求解簡(jiǎn)捷．