Question

13．在一條平直公路上，汽車甲和乙長度均為L=15m，汽車甲在前，正以v₁=20m/s的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，汽車乙在后，以加速度a=2m/s²，沿相同方向從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．此時(shí)甲乙最近距離（即乙車車頭與甲車車尾距離）x₀=75m．若乙車達(dá)到最大速度v₂=30m/s后即做勻速直線運(yùn)動(dòng)，兩車平行不相撞．從乙車加速運(yùn)動(dòng)開始計(jì)時(shí)，求：
（1）乙車車頭追上甲車車尾的時(shí)間
（2）兩車交會(huì)錯(cuò)車的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）由題意知，乙車車頭追上甲車車尾時(shí)乙車的位移比甲車的位移大75m，根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系求得所需時(shí)間；
（2）由（1）問知，從乙車車頭到甲車車尾開始到乙車車尾到甲車車頭的時(shí)間即為兩車交會(huì)錯(cuò)車的時(shí)間．

解答 解：（1）因?yàn)橐臆嚰铀俚阶畲笏俣鹊倪^程中的平均速度為：$\overline{v}=\frac{0+{v}_{2}}{2}=\frac{0+30}{2}m/s=15m/s＜{v}_{1}$，所以乙車在加速階段車頭不會(huì)追上甲車車尾．
由題意知，令乙車車頭追上甲車車尾的時(shí)間為t，則甲車的位移x_甲=v₁t
乙車加速至最大速度的時(shí)間為：$t′=\frac{{v}_{2}}{a}=\frac{30}{2}s=15s$
則乙車的位移為：${x}_{乙}=\frac{1}{2}at{′}^{2}+{v}_{2}（t-t′）$
由位移關(guān)系可得：x_乙-x_甲=x₀
代入數(shù)據(jù)可得：$\frac{1}{2}×2×1{5}^{2}+30（t-15）-20t=75$
解得：t=30s
（2）由（1）分析知，當(dāng)乙車的位移比甲車位移大2L+x₀是乙車將超過甲車，此時(shí)所用時(shí)間為t″則根據(jù)位移關(guān)系有：
x_乙-x_甲=x₀+2L
代入數(shù)據(jù)可得：$\frac{1}{2}×2×1{5}^{2}+30（t″-15）-20t″=7$5+2×15
可解得：t″=33s
故兩車交會(huì)錯(cuò)車時(shí)間為：△t=t″-t=-s=3s
答：（1）乙車車頭追上甲車車尾的時(shí)間為30s；
（2）兩車交會(huì)錯(cuò)車的時(shí)間為3s．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是抓住乙車車頭追上甲車車尾時(shí)的兩車位移關(guān)系，注意判定乙車是在加速階段還是勻速階段追上甲車是關(guān)鍵．