Question

12．如圖所示，一等邊三角形MNQ的邊長為2L，P為MN邊的中點(diǎn)．水平線MN以下是豎直向上的勻強(qiáng)電場，三角形MNQ內(nèi)的區(qū)域I有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀；三角形MNQ外、水平線MN以上的區(qū)域Ⅱ有方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B₀，一帶正電的粒子從P點(diǎn)正下方，距離P為L的O點(diǎn)由靜止釋放，通過電場后粒子以速度v₀從P點(diǎn)沿垂直MN進(jìn)人磁場區(qū)域I；再從NQ邊沿垂直NQ邊進(jìn)人區(qū)域Ⅱ，最終粒子又回到O點(diǎn)，帶電粒子的重力忽略不計(jì)．則：
（1）求該粒子的比荷$\frac{q}{m}$和勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小E；
（2）求該粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)再次回到O點(diǎn)的時(shí)間T；
（3）若區(qū)域Ⅰ內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度為3B₀，區(qū)域Ⅱ內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為1.5B₀，則粒子再次回到O點(diǎn)過程通過的路程是多少？

Answer 1

分析 （1）粒子在區(qū)域Ⅰ內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為N點(diǎn)，故半徑等于PN，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解即可；
（2）畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)$t=\frac{θ}{2π}T$求出在磁場中的時(shí)間，由平均速度公式求出在電場中的時(shí)間．
（3）畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，分別計(jì)算在電場和磁場中的路程，然后相加即可

解答 解：（1）粒子進(jìn)入磁場Ⅰ中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡圓心N點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系${r}_{1}^{\;}=L$
根據(jù)牛頓第二定律，有$q{v}_{0}^{\;}{B}_{0}^{\;}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$
解得${r}_{1}^{\;}=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{q{B}_{0}^{\;}}$
聯(lián)立以上各式得$\frac{q}{m}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{{B}_{0}^{\;}L}$
根據(jù)動(dòng)能定理$qEL=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-0$
$E=\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$
（2）畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1
粒子磁場Ⅰ和磁場Ⅱ中勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期相同，在Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)軌道半徑相同
${T}_{0}^{\;}=\frac{2πL}{{v}_{0}^{\;}}$
粒子在磁場Ⅰ中兩段圓弧所對的圓心角均為60°，在磁場Ⅱ中圓弧所對的圓心角為300°
粒子在電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間$t=\frac{L}{\overline{v}}=\frac{L}{\frac{{V}_{0}^{\;}}{2}}=\frac{2L}{{v}_{0}^{\;}}$
粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間$t′=\frac{420°}{360°}{T}_{0}^{\;}=\frac{7}{6}\frac{2πL}{{v}_{0}^{\;}}=\frac{7πL}{3{v}_{0}^{\;}}$
粒子從O點(diǎn)到再次回到O點(diǎn)的總時(shí)間${t}_{總}^{\;}=t+t′=\frac{L}{{v}_{0}^{\;}}（\frac{7π}{3}+2）$
（3）若區(qū)域Ⅰ內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度為$3{B}_{0}^{\;}$，在區(qū)域Ⅰ中的半徑變?yōu)樵瓉?\frac{1}{3}$，${r}_{1}^{′}=\frac{L}{3}$
區(qū)域Ⅱ內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度為$1.5{B}_{0}^{\;}$，在區(qū)域Ⅱ中的半徑變?yōu)樵瓉淼?\frac{2}{3}$，${r}_{2}^{′}=\frac{2L}{3}$
粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2所示
粒子在磁場區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動(dòng)的路程${s}_{1}^{\;}=3π{r}_{1}^{′}=πL$
粒子在磁場區(qū)域Ⅱ中運(yùn)動(dòng)的路程${s}_{2}^{\;}=2π{r}_{2}^{′}=\frac{4}{3}πL$
粒子在電場中運(yùn)動(dòng)的路程${s}_{3}^{\;}=5L$
粒子從O點(diǎn)到再次回到O點(diǎn)的總路程${s}_{總}^{\;}={s}_{1}^{\;}+{s}_{2}^{\;}+{s}_{3}^{\;}=\frac{7πL}{3}+5L$
答：（1）求該粒子的比荷$\frac{q}{m}$為$\frac{{v}_{0}^{\;}}{{B}_{0}^{\;}L}$和勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小E為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$；
（2）求該粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)再次回到O點(diǎn)的時(shí)間T為$\frac{L}{{v}_{0}^{\;}}（\frac{7π}{3}+2）$；
（3）若區(qū)域Ⅰ內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度為3B₀，區(qū)域Ⅱ內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為1.5B₀，則粒子再次回到O點(diǎn)過程通過的路程是（$\frac{7πL}{3}+5L$）

點(diǎn)評 本題作為壓軸題涉及的每一問之間有一定梯度，第一問和第二問為常規(guī)題型，只要有一定的物理功底即可拿到分?jǐn)?shù)，第三問的難度具有一定的選拔性，若想成為優(yōu)中之優(yōu)一定要重視數(shù)學(xué)方法在物理中的應(yīng)用．