Question

4．如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m的鋼性圓環(huán)套在一根固定的足夠長(zhǎng)的水平直桿上，環(huán)的半徑略大于桿的半徑．環(huán)與桿之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，t=0時(shí)刻給環(huán)一個(gè)向右的初速度v₀，同時(shí)對(duì)環(huán)施加一個(gè)方向始終豎直向上的力F，已知力F的大小F=kv（k為常數(shù)，v為環(huán)的運(yùn)動(dòng)速度），且有kv₀＞mg．t=t₁時(shí)刻環(huán)開(kāi)始沿桿做勻速直線運(yùn)動(dòng)，試求：
（1）t=0時(shí)刻環(huán)的加速度；
（2）全過(guò)程中環(huán)克服摩擦力所做的功；
（3）定性作出圓環(huán)的速度圖象．（要求能體現(xiàn)圓環(huán)速度變化的特征，標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)的參數(shù)）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)受力分析確定環(huán)的運(yùn)動(dòng)情況，環(huán)所受合力向上時(shí)，隨著環(huán)速度的減小，豎直向上的拉力逐漸減��；所以剛剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)環(huán)的加速度最大；
（2）當(dāng)環(huán)向上的拉力減至和重力大小相等時(shí)，此時(shí)環(huán)受合力為0，桿不再給環(huán)阻力，環(huán)將保持此時(shí)速度不變，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，環(huán)在豎直方向所受合力為0時(shí)對(duì)環(huán)使用動(dòng)能定理求出阻力對(duì)環(huán)做的功即可．
（3）由于環(huán)的受力隨速度的變化而變化，應(yīng)用牛頓第二定律判斷環(huán)的加速度如何變化，判斷換的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，然后作出圖象．

解答 解：（1）由牛頓第二定律可知：μ（k v₀-mg）=ma，
解得：a=$\frac{μ（k{v}_{0}-mg）}{m}$，方向水平向左；
（2）設(shè)環(huán)做勻速運(yùn)動(dòng)的速度為v₁，則：kv₁=mg，
t₁時(shí)間內(nèi)環(huán)受到摩擦力作用，由動(dòng)能定理得：
W=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：W=$\frac{1}{2}$m（$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{{k}^{2}}$-${v}_{0}^{2}$），
環(huán)克服摩擦力所做的功為：$\frac{1}{2}$m（${v}_{0}^{2}$-$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{{k}^{2}}$）；
（3）已知F=kv，環(huán)做減速運(yùn)動(dòng)，隨速度v的減小，F(xiàn)減小，摩擦力f增大，環(huán)受到的合外力減小，由牛頓第二定律可知，環(huán)的加速度減小，環(huán)做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)環(huán)所受合力為零時(shí)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，v-t圖象如圖所示：
                          
答：（1）t=0時(shí)刻環(huán)的加速度大小為：$\frac{μ（k{v}_{0}-mg）}{m}$，方向：水平向左；
（2）全過(guò)程中環(huán)克服摩擦力所做的功為$\frac{1}{2}$m（${v}_{0}^{2}$-$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{{k}^{2}}$）；
（3）圓環(huán)的速度圖象如圖所示．

點(diǎn)評(píng) 注意當(dāng)環(huán)在豎直方向所受合力為0時(shí)，此時(shí)桿對(duì)環(huán)不再有阻力作用，環(huán)在水平方向受平衡力，將保持此時(shí)的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由此可分三種情況對(duì)環(huán)進(jìn)行受力分析從而確定環(huán)的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)動(dòng)能定理求解克服阻力所做的功即可．該題在由于環(huán)的受力是變力，所以要使用動(dòng)量定理來(lái)解題，不能使用牛頓運(yùn)動(dòng)定律．