Question

如圖所示，在半徑為R=

mv0

Bq

的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度B，圓形區(qū)域右側(cè)有一豎直感光板，從圓弧頂點P以速率v₀的帶正電粒子平行于紙面進入磁場，已知粒子的質(zhì)量為m，電量為q，粒子重力不計．
（1）若粒子對準圓心射入，求它在磁場中運動的時間；
（2）若粒子對準圓心射入，且速率為

3

v₀，求它打到感光板上時速度的垂直分量；
（3）若粒子以速度v₀從P點以任意角入射，試證明它離開磁場后均垂直打在感光板上．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑，從而根據(jù)幾何關(guān)系求出圓弧的圓心角大小，通過弧長和速度求出在磁場中運動的時間．
（2）若粒子對準圓心射入，且速率為

3

v₀，軌道半徑變?yōu)樵瓉淼?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

3

倍，通過幾何關(guān)系求出圓弧的圓心角，從而得知出磁場的速度方向，根據(jù)速度分解求出它打到感光板上時速度的垂直分量；
（3）當(dāng)帶電粒子以v₀射入時，帶電粒子在磁場中的運動軌道半徑為R．通過證明入射點、出射點、圓心磁場的圓心以及粒子運動圓弧的圓心構(gòu)成的圖形為菱形，從而可以證明它離開磁場后均垂直打在感光板上．

解答：解：（1）設(shè)帶電粒子進入磁場中做勻速圓周運動的軌道半徑為r，由牛頓第二定律得
qv0B=m

v02

r

r=R
帶電粒子在磁場中的運動軌跡為四分之一圓周，軌跡對應(yīng)的圓心角為

π

2

，如圖所示，

則t=

πR 2

v0

=

πm

2qB

（2）由（1）知，當(dāng)v=

3

v0時，帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑為

3

R．
其運動軌跡如圖所示，
由圖可知∠PO₂O=∠OO₂R=30°．
所以帶電粒子離開磁場時偏轉(zhuǎn)原來方向60°

v⊥=vsin60°=

3

2

v0
（3）由（1）知，當(dāng)帶電粒子以v₀射入時，帶電粒子在磁場中的運動軌道半徑為R．
設(shè)粒子射入方向與PO方向夾角為θ，帶電粒子從區(qū)域邊界S射出，帶電粒子運動軌跡如圖所示．
因PO₃=O₃S=PO=SO=R
所以四邊形POSO₃為菱形
由圖可知：PO∥O₃S，v₃⊥SO₃
因此，帶電粒子射出磁場時的方向為水平方向，與入射的方向無關(guān)．
答：（1）它在磁場中運動的時間t=

πm

2qB

．
（2）它打到感光板上時速度的垂直分量為

3

2

v0．
（3）證明如上．

點評：本題考查帶電粒子在磁場中的運動，掌握帶電粒子在磁場中運動的半徑公式．本題對數(shù)學(xué)幾何能力要求較高，需加強這方面的訓(xùn)練．