Question

20．如圖1所示，組裝成“S”形的軌道平放在豎直平面上，Oa部分為薄壁半圓形細(xì)管，固定在直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，管口恰好落在原點(diǎn)O上，直徑與Oy軸重合；ab部分為半圓形軌道，其半徑r是可以調(diào)節(jié)的，直徑也與Oy軸重合，兩部分在a處圓滑連接．一個(gè)質(zhì)量m=0.01kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），以10m/s的速度從管口O點(diǎn)進(jìn)入軌道，不計(jì)一切摩擦，取g=10m/s²．
（1）取r=1.6m時(shí)，發(fā)現(xiàn)小球恰好能從b處飛出，試求Oa部分的半徑R；
（2）r取多大值，小球從b處飛出后，到達(dá)x軸上的位置（離原點(diǎn)）最遠(yuǎn)？
（3）現(xiàn)在O、b兩點(diǎn)各放一個(gè)壓力傳感器，并計(jì)算出壓力差△F；改變半徑r的大小，重復(fù)實(shí)驗(yàn)，最后繪得△F-$\frac{1}{r}$圖線如圖2所示，求直線在△F軸上的截距．

Answer 1

分析 （1）小球恰能能從b處飛出時(shí)，軌道對小球沒有作用力，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式得到速度與半徑r的關(guān)系式；小球從O到b，運(yùn)用動能定理列式，聯(lián)立求解R；
（2）小球從b處飛出軌道后，做平拋運(yùn)動；對O到b過程根據(jù)動能定理列式；再對平拋運(yùn)動根據(jù)分位移公式列式；最后聯(lián)立求解即可；
（3）在O點(diǎn)，重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式；在b點(diǎn)，也是重力和支持力的合力提供向心力，再次根據(jù)牛頓第二定律列式；對從O到b過程根據(jù)動能定理列式；最后聯(lián)立求解即可．

解答 解：（1）小球從O運(yùn)動到b，設(shè)到b點(diǎn)的速度為v_b，據(jù)動能定理有：
-mg（R+2r）=$\frac{1}{2}$mv${\;}_^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$ 
小球恰好過b點(diǎn)，即：F_N=0，
則有：mg=m$\frac{{v}_^{2}}{r}$   
代入得：R=0.5m  
（2）小球在b點(diǎn)離開軌道后，在重力力作用下做平拋運(yùn)動，
x方向：x=v_bt
y（負(fù)）方向：2R+2r=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$ 
結(jié)合①得：y=4$\sqrt{-（r-\frac{3}{4}）^{2}+\frac{25}{16}}$
顯然，當(dāng)r=0.75m時(shí)x坐標(biāo)有最大值．    
（3）設(shè)小球在O、b兩點(diǎn)的作用力分別為F_O和F_b，則有：
F₀-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
得：F₀=2.1N
F_b+mg=m$\frac{{v}_^{2}}{r}$
得：F_b=$\frac{0.8}{r}-$0.5
△F=F₀-F_b=2.6$-\frac{0.8}{r}$  
所以截距為2.6N
答：（1）取r=1.6m時(shí)，發(fā)現(xiàn)小球恰好能從b處飛出，Oa部分的半徑R為0.5m；
（2）r取0.75m，小球從b處飛出后，到達(dá)x軸上的位置（離原點(diǎn)）最遠(yuǎn)；
（3）直線在△F軸上的截距為2.6N．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵明確小球的運(yùn)動規(guī)律，然后分段結(jié)合牛頓第二定律、動能定理和類平拋運(yùn)動的分運(yùn)動公式列式求解，屬于中檔題目．