Question

5．如圖示，勁度系數(shù)為K的彈簧和物塊m₁，m₂固定連接，放在質量為M傾角為θ的光滑斜面上．m₁=m₂=m，使m₁在AOB間做簡諧運動，A B為最大位置，O為平衡位置．m₂恰好不會離開擋板．斜面始終保持靜止．求
（1）m₁在平衡位置時彈簧形變量
（2）m₁最大速度
（3）斜面受地面最大支持力和摩擦力（沒有超過彈性限度）

Answer 1

分析 （1）在平衡位置，m₁受力平衡，根據平衡條件列式求解彈力，根據胡克定律求解彈簧形變量；
（2）m₁在平衡位置速度最大，在B點時，m₂恰好不會離開擋板，對m₂根據平衡條件求解彈簧彈力，根據胡克定律列式求解彈簧的行變量，最后對系統(tǒng)根據能量守恒定律列式求解m₁最大速度；
（3）對三個物體整體，當具有向上的最大加速度時，支持力和摩擦力最大，根據牛頓第二定律列式求解．

解答 解：（1）在平衡位置，m₁受力平衡，故：m₁gsinθ-kx₁=0；
解得：x₁=$\frac{{m}_{1}gsinθ}{k}$=$\frac{{m}_{\;}gsinθ}{k}$
（2）m₁在B點時，m₂恰好不會離開擋板，故：
kx₂-mgsinθ=0
解得：
x₂=$\frac{{m}_{\;}gsinθ}{k}$
m₁簡諧運動的振幅：A=x₁+x₂=$\frac{2mgsinθ}{k}$
彈簧和m₁系統(tǒng)機械能守恒，故：
mgAsinθ+$\frac{1}{2}k（A+{x}_{1}）^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{1}{2}k{x}_{1}^{2}$
聯(lián)立解得：
v=$\frac{3gsinθ}{k}\sqrt{m}$
（3）m₁的最大加速度為：a=$\frac{kA}{m}$=2gsinθ
對三個物體整體，當具有向上的最大加速度時，支持力和摩擦力最大，故：
f=macosθ
N-（M+2m）g=（M+2m）asinθ
解得：
f=m（2gsinθ）cosθ=mgsin2θ
N=（M+2m）（g+asinθ）=（M+2m）g（1+2sin²θ）
答：（1）m₁在平衡位置時彈簧形變量為$\frac{{m}_{\;}gsinθ}{k}$；
（2）m₁最大速度為$\frac{3gsinθ}{k}\sqrt{m}$；
（3）斜面受地面最大支持力為（M+2m）g（1+2sin²θ），最大摩擦力為mgsin2θ．

點評 本題關鍵是明確滑塊m₁做簡諧運動，結合平衡條件、牛頓第二定律、簡諧運動的對稱性和機械能守恒定律列式求解，要知道彈簧的彈性勢能表達式${E}_{p}=\frac{1}{2}k{x}^{2}$．