Question

13．在豎直平面內(nèi)有一半徑為R的圓形區(qū)域，AB、CD分別為水平、豎直的兩個(gè)直徑，BM、MN、ND三段弧長相等．有一四分之一圓的豎直圓弧軌道，半徑也是R，圓心在C點(diǎn)，軌道下端在O點(diǎn)與AB相切．
（1）一小滑塊從軌道上端P點(diǎn)由靜止滑下從O點(diǎn)滑出，若滑塊的質(zhì)量為m，在它滑到O點(diǎn)時(shí)立即對(duì)它施加一個(gè)恒力F，使它能沿OB方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，且加速度為a=0.75g，求恒力F的大小和方向；
（2）若不計(jì)摩擦，滑塊仍由靜止從軌道上某位置釋放，要求滑塊離開O點(diǎn)后能落到圓的MN圓弧上（包括M、N兩點(diǎn)），求釋放的位置距圓心O的豎直高度．（要求結(jié)果有R表示）

Answer 1

分析 （1）首先知道滑塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，利用牛頓第二定律求出恒力即可．（2）先據(jù)機(jī)械能守恒求出在O點(diǎn)的速度，再據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)和幾何關(guān)系求出豎直高度的范圍即可．

解答 解：（1）對(duì)滑塊受力分析可知，滑塊所受合力沿OB方向．據(jù)牛頓第二定律得：F_合=ma
又因?yàn)閍=0.75g 
F=$\sqrt{{F}_{合}^{2}+（mg）^{2}}$ 
解得：F=1.25mg 
設(shè)F與OB的夾角為θ，則由：sin$θ=\frac{mg}{F}=0.8$
得：θ=53°
（2）設(shè)釋放位置據(jù)圓心O的豎直高度為h，據(jù)機(jī)械能守恒得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
從O平拋，水平方向x=v₀t，豎直方向y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得：v₀=x$\sqrt{\frac{g}{2y}}$
據(jù)題可知，三段弧對(duì)的圓心角都是30°，若落在MN圓弧上，
當(dāng)$y=Rcos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}R$，有：x$≥Rsin30°=\frac{R}{2}$
當(dāng)y=$Rsin30°=\frac{R}{2}$時(shí)，有：x$≤Rcos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}R$
聯(lián)立解得：$\frac{\sqrt{3}}{24}R≤h≤\frac{3R}{8}$
答：（1）恒力F的大小為1.25mg，方向OB的夾角為53°．
（2）釋放的位置距圓心O的豎直高度應(yīng)滿足：$\frac{\sqrt{3}}{24}R≤h≤\frac{3R}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 明確題境，知道幾何關(guān)系、小球運(yùn)動(dòng)過程遵循的規(guī)律是解題的關(guān)鍵，找出落到MN段圓弧的臨界條件再與平拋運(yùn)動(dòng)公式聯(lián)合求解是解題的核心，此題解題方法明確．