Question

14．對(duì)某行星的一顆衛(wèi)星進(jìn)行觀測(cè)，已知運(yùn)行的軌跡是半徑為R的圓周，運(yùn)動(dòng)n周的時(shí)間為t．求：
（1）該行星的質(zhì)量
（2）測(cè)得行星的半徑為衛(wèi)星軌道半徑的$\frac{1}{5}$，則此行星表面的重力加速度為多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求出衛(wèi)星的周期，衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出行星的質(zhì)量．
（2）行星表面的物體受到的萬有引力等于重力，據(jù)此求出重力加速度．

解答 解（1）衛(wèi)星的周期：T=$\frac{t}{n}$，
衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，解得：M=$\frac{4{n}^{2}{π}^{2}{R}^{3}}{G{t}^{2}}$；
（2）設(shè)行星的半徑為r，衛(wèi)星半徑R=5r----------------④
地球表面上質(zhì)量為m′的物體受到的萬有引力近似等于其受到的重力，
可得：G$\frac{Mm′}{{r}^{2}}$=m′g，解得：g=$\frac{100{π}^{2}{n}^{2}R}{{t}^{2}}$；
答：（1）該行星的質(zhì)量為$\frac{4{n}^{2}{π}^{2}{R}^{3}}{G{t}^{2}}$；
（2）測(cè)得行星的半徑為衛(wèi)星軌道半徑的$\frac{1}{5}$，則此行星表面的重力加速度為$\frac{100{π}^{2}{n}^{2}R}{{t}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬有引力定律的應(yīng)用，知道萬有引力提供向心力、萬有引力等于重力是正確解題的關(guān)鍵，應(yīng)用萬有引力公式與牛頓第二定律可以解題．