Question

12．地面上有一個(gè)半徑為R的圓形跑道，高為h的平臺(tái)邊緣上的P點(diǎn)在地面上P′點(diǎn)的正上方，P′與跑道圓心O的距離為L(zhǎng)（L＞R），如圖所示．跑道上停有一輛小車(chē)，現(xiàn)從P點(diǎn)水平拋出小沙袋，使其落入小車(chē)中（沙袋所受空氣阻力不計(jì)）．問(wèn)：
（1）若小車(chē)在跑道上運(yùn)動(dòng)，則沙袋被拋出時(shí)的初速度在什么范圍內(nèi)？
（2）若小車(chē)沿跑道順時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小車(chē)恰好經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，將沙袋拋出，為使沙袋能在B處落入小車(chē)中，小車(chē)的速率v應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）小車(chē)在A點(diǎn)時(shí)水平的位移最小，此時(shí)的初速度也是最小的，當(dāng)小車(chē)在B點(diǎn)時(shí)，水平的位移最大，此時(shí)的初速度是最大的，沙袋被拋出時(shí)的初速度應(yīng)該在AB兩點(diǎn)的初速度之間；
（2）要使沙袋能在B處落入小車(chē)中，在沙袋落到B點(diǎn)時(shí)，小車(chē)要?jiǎng)偤玫竭_(dá)B位置，小車(chē)可以是經(jīng)過(guò)$\frac{1}{4}$圓周到達(dá)B點(diǎn)，也可以是經(jīng)過(guò)整數(shù)個(gè)圓周之后再過(guò)$\frac{1}{4}$圓周到達(dá)B點(diǎn)，根據(jù)它們的時(shí)間相同可以求得小車(chē)速度的關(guān)系

解答 解：（1）沙袋從P點(diǎn)被拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)它的落地時(shí)間為t，則
h=$\frac{1}{2}$gt²
解得 t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$①
當(dāng)小車(chē)位于A點(diǎn)時(shí)，有
x_A=v_At=L-R②
解①②得v_A=（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
若小車(chē)在跑道上運(yùn)動(dòng)，要使沙袋落入小車(chē)，最小的拋出速度為
v_0min=v_A=（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
若當(dāng)小車(chē)經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)沙袋剛好落入，拋出時(shí)的初速度最大，有
x_c=v_0maxt=L+R ③
解①③得 v_0max=（L+R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
所以沙袋被拋出時(shí)的初速度范圍為
（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$≤v₀≤（L+R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
（2）要使沙袋能在B處落入小車(chē)中，小車(chē)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間應(yīng)與沙袋下落時(shí)間相同
t_AB=（n+$\frac{1}{4}$）$\frac{2πR}{v}$（n=0，1，2，3…）
所以t_AB=t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
解得v=$\frac{1}{2}$（4n+1）πR$\sqrt{\frac{g}{2h}}$（n=0，1，2，3…）．
答：（1）若小車(chē)在跑道上運(yùn)動(dòng)，則沙袋被拋出時(shí)的初速度范圍為（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$≤v₀≤（L+R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$；
（2）若小車(chē)沿跑道順時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小車(chē)恰好經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，將沙袋拋出，為使沙袋能在B處落入小車(chē)中，小車(chē)的速率v應(yīng)滿足v=$\frac{1}{2}$（4n+1）πR$\sqrt{\frac{g}{2h}}$（n=0，1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng) 本題是對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的考查，在分析第二問(wèn)的時(shí)候，要考慮到小車(chē)運(yùn)動(dòng)的周期性，小車(chē)并一定是經(jīng)過(guò)$\frac{1}{4}$圓周，也可以是經(jīng)過(guò)了多個(gè)圓周之后再經(jīng)過(guò)$\frac{1}{4}$圓周后恰好到達(dá)B點(diǎn)，這是同學(xué)在解題時(shí)經(jīng)常忽略而出錯(cuò)的地方．