Question

2．如圖所示，在豎直平面內(nèi)固定有兩個(gè)很靠近的同心圓形軌道，外圓ABCD光滑，內(nèi)圓A′的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑．一質(zhì)量m=0.2kg的小球從軌道的最低點(diǎn)A處以初速度v₀向右運(yùn)動(dòng)，球的直徑略小于兩圓間距，球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R=0.2m，取g=10m/s²．
（1）若要使小球始終緊貼著外圓做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，初速度v₀至少為多少？
（2）若v₀=3m/s，經(jīng)過一段時(shí)間小球到達(dá)最高點(diǎn)，內(nèi)軌道對(duì)小球的支持力F_C=2N，則小球在這段時(shí)間內(nèi)克服摩擦力做的功是多少？
（3）若v₀=3.1m/s，經(jīng)過足夠長的時(shí)間后，小球經(jīng)過最低點(diǎn)A時(shí)受到的支持力為多少？小球在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中減少的機(jī)械能是多少（保留三位有效數(shù)字）？

Answer 1

分析 （1）緊貼外圓做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)的臨界情況是重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合機(jī)械能守恒定律求出初速度的最小值．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的速度大小，根據(jù)動(dòng)能定理求出克服摩擦力做功的大�。�
（3）經(jīng)足夠長時(shí)間后，小球在下半圓軌道內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理和牛頓第二定律求出最低點(diǎn)小球所受的支持力大小，根據(jù)能量守恒求出損失的機(jī)械能．

解答 解：（1）在最高點(diǎn)C，重力恰好充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，
從A到C機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律得：
2mgR=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv_C²，
解得：v₀=$\sqrt{10}$m/s；
（2）在最高點(diǎn)，由牛頓第二定律得：mg-F_C=m$\frac{v{′}_{C}^{2}}{R}$，
解得：v_C′=0，
從A到C，由動(dòng)能定理得：-2mgR-W_f=0-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：W_f=0.1J；
（3）由于v₀=3.1m/s＜$\sqrt{10}$m/s，在上半圓周運(yùn)動(dòng)過程的某階段，
小球?qū)��?duì)內(nèi)圓軌道間有彈力，由于摩擦作用，機(jī)械能將減小．經(jīng)足夠長時(shí)間后，小球?qū)�僅在下半圓軌道內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)．設(shè)此時(shí)小球經(jīng)過最低點(diǎn)的速度為v_A，受到的支持力為F_A，由動(dòng)能定理得：
mgR=$\frac{1}{2}$mv_A²，
由牛頓第二定律得：F_A-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$，
解得：F_A=6N，
整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中小球減少的機(jī)械能為：
△E=$\frac{1}{2}$mv₀²-mgR，
解得：△E=0.561J；
答：（1）若要使小球始終緊貼著外圓做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，初速度v₀至少為$\sqrt{10}$m/s；
（2）若v₀=3m/s，經(jīng)過一段時(shí)間小球到達(dá)最高點(diǎn)，內(nèi)軌道對(duì)小球的支持力F_C=2N，則小球在這段時(shí)間內(nèi)克服摩擦力做的功是0.1J；
（3）若v₀=3.1m/s，經(jīng)過足夠長的時(shí)間后，小球經(jīng)過最低點(diǎn)A時(shí)受到的支持力為6N，小球在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中減少的機(jī)械能是0.561J．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵是理清運(yùn)動(dòng)過程，抓住臨界狀態(tài)，運(yùn)用合適的規(guī)律進(jìn)行求解．