Question

11．2007年10月24日18時(shí)05分，中國(guó)第一顆探月衛(wèi)星“嫦娥一號(hào)”在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功升空，“嫦娥奔月”成為中國(guó)航天的現(xiàn)實(shí)．為了方便研究，我們將“嫦娥奔月”的過(guò)程簡(jiǎn)化為：“嫦娥一號(hào)”升空后，首先進(jìn)入近地圓軌道（其軌道半徑近似等于地球半徑），運(yùn)行周期為T₁，然后在地面的指令下經(jīng)過(guò)一系列的變軌后最終被月球捕獲，在距離月球表面為h的軌道上繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知地球半徑為R₁，月球半徑為R₂，月球質(zhì)量為M，萬(wàn)有引力常量為G，求：
（1）“嫦娥一號(hào)”繞月球運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期T₂
（2）月球與地球表面的重力加速度之比．

Answer 1

分析 （1）在月球表面，萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解“嫦娥一號(hào)”繞月球運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期；
（2）在地球表面，衛(wèi)星受到的重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解地面的重力加速度；
在月球表面，重力等于萬(wàn)有引力，列式求解月球表面的重力加速度．

解答 解：（1）“嫦娥一號(hào)”繞月球運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌道半徑：r₂=R₂+h
衛(wèi)星受到的萬(wàn)有引力提供向心力，故：
$G\frac{Mm}{{r}_{2}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{2}$ 
解得：
${T}_{2}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{（{{R}_{2}+h）}^{3}}{GM}}$ 
（2）在月球表面，重力等于萬(wàn)有引力，故：
$m{g_月}=G\frac{Mm}{R_2^2}$
對(duì)于在地球表面時(shí)，有：
$m{g}_{地}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}_{1}^{2}}{R}_{1}$
聯(lián)立解得：
$\frac{{g}_{地}}{{g}_{月}}=\frac{4{π}^{2}{R}_{1}{R}_{2}^{2}}{GM{T}_{1}^{2}}$
答：（1）“嫦娥一號(hào)”繞月球運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{（{R}_{2}+h）}^{3}}{GM}}$；
（2）月球與地球表面的重力加速度之比為$\frac{4{π}^{2}{R}_{1}{R}_{2}^{2}}{GM{T}_{1}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確“嫦娥一號(hào)”在地面附近和繞月飛行時(shí)的動(dòng)力學(xué)原理，利用萬(wàn)有引力等于向心力列式求解，不難．