Question

6．如圖是阿毛同學(xué)的漫畫(huà)中出現(xiàn)的裝置，描述了一個(gè)“吃貨”用來(lái)做“糖炒栗子”的“萌”事兒：將板栗在地面小平臺(tái)上以初速度v₀經(jīng)兩個(gè)四分之一圓弧銜接而成的軌道，從最高點(diǎn)P飛出進(jìn)入炒鍋內(nèi)，利用來(lái)回運(yùn)動(dòng)使其均勻受熱．我們用質(zhì)量為m的小滑塊代替栗子，借這套裝置來(lái)研究一些物理問(wèn)題．設(shè)兩個(gè)四分之一圓弧半徑分別為2R和R，小平臺(tái)和圓弧均光滑．將過(guò)鍋底的縱截面看作是兩個(gè)斜面AB、CD和一段光滑圓弧組成．兩斜面傾角均為θ=37°，滑塊的運(yùn)動(dòng)始終在包括鍋底最低點(diǎn)的豎直平面內(nèi)，重力加速度為g．設(shè)滑塊恰好能經(jīng)P點(diǎn)飛出，且恰好沿AB斜面進(jìn)入鍋內(nèi)．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：

（1）滑塊經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力多大？
（2）滑塊經(jīng)P點(diǎn)時(shí)的速度大��？
（3）P、A兩點(diǎn)間的水平距離為多少？

Answer 1

分析 （1）滑塊經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求得支持力，從而得到滑塊對(duì)軌道的壓力．
（2）滑塊恰好能經(jīng)P點(diǎn)飛出，在P點(diǎn)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求P點(diǎn)的速度．
（3）由于滑塊恰好沿AB斜面進(jìn)入鍋內(nèi)，到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度沿AB方向，根據(jù)速度的分解法求出滑塊到A點(diǎn)時(shí)豎直分速度，由v_y=gt求出從P到A的時(shí)間，再由水平方向勻速運(yùn)動(dòng)的位移公式求P、A兩點(diǎn)間的水平距離．

解答 解：（1）在O點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
得：N=mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
根據(jù)牛頓第三定律可得滑塊經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力大小為：
N′=N=mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
（2）在P點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{2R}$
得：v_P=$\sqrt{2gR}$
（3）到達(dá)A點(diǎn)時(shí)滑塊的速度方向沿著AB方向，則有：
  tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{P}}$
又 v_y=gt
P、A兩點(diǎn)間的水平距離為：s=v_Pt
聯(lián)立解得：s=1.5R
答：
（1）滑塊經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力是mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$．
（2）滑塊經(jīng)P點(diǎn)時(shí)的速度大小是$\sqrt{2gR}$．
（3）P、A兩點(diǎn)間的水平距離為1.5R．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要理清小球的運(yùn)動(dòng)情況，把握P點(diǎn)的臨界條件：重力等于向心力．對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)，要抓住隱含的條件，分解速度，要注意分運(yùn)動(dòng)的同時(shí)性．