Question

【題目】科技館有一套兒童喜愛的機(jī)械裝置，其結(jié)構(gòu)簡圖如下：傳動(dòng)帶AB部分水平，其長度L=1.2m，傳送帶以3m/s的速度順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，大皮帶輪半徑r=0.4m，其下端C點(diǎn)與圓弧軌道DEF的D點(diǎn)在同一水平線上，E點(diǎn)為圓弧軌道的最低點(diǎn)，圓弧EF對應(yīng)的圓心角且圓弧的半徑R=0.5m，F(xiàn)點(diǎn)和傾斜傳送帶GH的下端G點(diǎn)平滑連接，傾斜傳送帶GH長為x=4.45m，其傾角。某同學(xué)將一質(zhì)量為0.5kg且可以視為質(zhì)點(diǎn)的物塊靜止放在水平傳送帶左端A處，物塊經(jīng)過B點(diǎn)后恰能無碰撞地從D點(diǎn)進(jìn)入圓弧軌道部分，當(dāng)經(jīng)過F點(diǎn)時(shí)，圓弧給物塊的摩擦力f=14.5N，然后物塊滑上傾斜傳送帶GH。已知物塊與所有的接觸面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為，重力加速度，,,，求：

（1）物塊由A到B所經(jīng)歷的時(shí)間；

（2）DE弧對應(yīng)的圓心角為多少；

（3）若要物塊能被送到H端，傾斜傳動(dòng)帶順時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)的速度應(yīng)滿足的條件及物塊從G到H端所用時(shí)間的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1)0.7s (2) (3),

【解析】

（1）物體在水平傳送帶上，由牛頓第二定律得：

所以：

物體加速到3m/s的時(shí)間：

在加速階段的位移：

物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：

物塊由A到B所經(jīng)歷的時(shí)間：t=t1+t2=0.7s

(2)若物體能在B點(diǎn)恰好離開傳送帶做平拋運(yùn)動(dòng)，則滿足：

所以：

所以物體能夠在B點(diǎn)離開傳送帶做平拋運(yùn)動(dòng)，平拋的時(shí)間：

解得：

到達(dá)D點(diǎn)時(shí)物體沿豎直方向的分速度：

到達(dá)D點(diǎn)時(shí)物體的速度與水平方向之間的夾角：

所以：α=530

即DE弧對應(yīng)的圓心角α為530

（3）當(dāng)經(jīng)過F點(diǎn)時(shí)，圓弧給物塊的摩擦力f=14.5N，所以物體在F點(diǎn)受到的支持力：

物體在F點(diǎn)時(shí)，支持力與重力的分力提供向心力得：

代入數(shù)據(jù)得：v3=5m/s

物體在傾斜的傳動(dòng)帶上受到重力、支持力和滑動(dòng)摩擦力的作用，滑動(dòng)摩擦力：

f′=μmgcos370=2N

重力沿斜面向下的分力：Fx=mgsin370=3N>f′

可知物體不可能相對于傳動(dòng)帶靜止，所以物體在傳送帶上將一直做減速運(yùn)動(dòng)，物體恰好到達(dá)H點(diǎn)時(shí)速度為0.

Ⅰ、若傳送帶的速度大于等于物體在F點(diǎn)的速度，則物體受到的摩擦力的方向向上，物體一直以不變的加速度向上做減速運(yùn)動(dòng)；此時(shí)：Fx-f′=ma3

解得：a3=2m/s2

物體的位移為：

代入數(shù)據(jù)解得：t′=1.16s（或t′=3.84s不合題意）

Ⅱ、若傳送帶的速度小于物體在F點(diǎn)的速度，則物體先相對于傳送帶向上運(yùn)動(dòng)，受到的摩擦力的方向向下；當(dāng)物體的速度小于傳送帶的速度后，受到的摩擦力方向向上，物體繼續(xù)向上做減速運(yùn)動(dòng)，速度的大小發(fā)生變化。

設(shè)物體恰好能到達(dá)H點(diǎn)時(shí)，傳送帶的速度是vmin，且vmin<v3，物體到達(dá)H點(diǎn)的速度為0.

物體的速度大于傳送帶的速度時(shí)，物體受到的摩擦力的方向向下，此時(shí)：

Fx+f′=ma2，則a2=10m/s2

物體的速度小于傳送帶的速度時(shí)，物體受到的摩擦力方向向上，則：

Fx-f′=ma3，則a3=2m/s2

物體向上的減速運(yùn)動(dòng)若過來看，也可以是向下的加速運(yùn)動(dòng)，初速度為0，末速度為v3，設(shè)下面的一段時(shí)間為t4，上面的一段時(shí)間為t5，可得：，，

聯(lián)立以上三式，代入數(shù)據(jù)得：t4=0.1s，t5=2.0s，vmin=4m/s

物體從F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到H點(diǎn)的總時(shí)間：

綜合以上的分析可知，若要物體能都到達(dá)H點(diǎn)，傳送帶的速度應(yīng)滿足：vmin≥4m/s ，物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍是： 1.16s≤t≤2.1s