Question

12．如圖所示，半徑為R=1.5m的光滑圓弧支架豎直放置，圓心角θ=60°，支架的底部CD離地面足夠高，圓心O在C點(diǎn)的正上方，右側(cè)邊緣P點(diǎn)固定一個(gè)光滑小輪，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A、B分別系在足夠長(zhǎng)的跨過(guò)小輪的輕繩兩端，兩球的質(zhì)量分別為m_A=0.3kg、m_B=0.1kg．將A球從緊靠小輪處由靜止釋放，求：
（1）當(dāng)A球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，兩球組成系統(tǒng)的重力勢(shì)能的變化量；
（2）A球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度大�。�
（3）若A球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)輕繩突然斷裂，從此時(shí)開(kāi)始，需經(jīng)過(guò)多少時(shí)間兩球重力功率的大小相等？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系求出AB兩球重力勢(shì)能的變化量，從而求出兩球組成系統(tǒng)的重力勢(shì)能的變化量；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系求出到達(dá)C點(diǎn)時(shí)AB兩球的速度關(guān)系，再根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒列式求解即可；
（3）輕繩斷裂后，A球平拋，B球豎直上拋，設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t兩球重力功率大小相等，根據(jù)功率公式列式求解．

解答 解：（1）根據(jù)重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系得：
A球重力勢(shì)能變化量為：△E_PA=-m_Agh_A=-0.3×10×1.5×（1-cos60°）=-2.25J，
B球重力勢(shì)能變化量為：△E_PB=m_BgR=0.1×10×1.5=1.5J，
兩球組成系統(tǒng)的重力勢(shì)能的變化量為：△E_p=△E_PA+△E_PB=-0.75J，
即系統(tǒng)重力勢(shì)能減少0.75J，
（2）系統(tǒng)機(jī)械能守恒：$\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{A}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{B}}^{2}+△{E}_{P}=0$，
根據(jù)幾何關(guān)系得：v_Acos30°=v_B，
聯(lián)立解得：v_A=2m/s，
（3）輕繩斷裂后，A球平拋，B球豎直上拋，B球上拋初速度為：${{v}_{B}=v}_{A}cos30°=\sqrt{3}m/s$，
設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t兩球重力功率大小相等，則有：m_Ag•（gt）=m_Bg•|（v_B-gt）|，
解得：t=$\frac{\sqrt{3}}{40}$s         
答：（1）當(dāng)A球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，兩球組成系統(tǒng)的重力勢(shì)能減少0.75J；
（2）A球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度大小為2m/s；
（3）若A球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)輕繩突然斷裂，從此時(shí)開(kāi)始，需經(jīng)過(guò)$\frac{\sqrt{3}}{40}$s時(shí)間兩球重力功率的大小相等．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握功能關(guān)系，知道重力做功等于重力勢(shì)能的減小量，要知道AB兩球通過(guò)繩子連接在一起，則沿著繩子方向的速度相等，明確輕繩斷裂后，A球平拋，B球豎直上拋，難度適中．