Question

3．如圖所示，彈簧的一端固定在天花板上，另一端連接一個小球，彈簧質(zhì)量不計，勁度系數(shù)為k，小球（可視為質(zhì)點）的質(zhì)量為m，將小球豎直懸掛起來，小球平衡的位置為坐標(biāo)原點O．將小球在豎直方向拉離平衡位置后釋放，小球就在豎直方向運動起來．我們知道，以小球、地球、彈簧組成的系統(tǒng)，動能、彈性勢能和重力勢能的總和保持不變．如果把彈性勢能和重力勢能的和稱為系統(tǒng)的勢能，并規(guī)定小球處在平衡位置時系統(tǒng)的勢能為零，請根據(jù)“功是能量轉(zhuǎn)化的量度”，求小球運動到O點下方x處時系統(tǒng)的勢能．

Answer 1

分析 該題中重力和彈簧的彈力對小球做功，二者做功的和等于小球增加的動能，根據(jù)功能關(guān)系即可做出解答．
另外，也可以根據(jù)彈簧克服彈力做的功等于彈簧的彈性勢能的增加來解答．

解答 解：解法一：
小球靜止時，彈簧的形變量為x₀，有：kx₀=mg
以平衡位置為零勢能面，到O點下方x：
重力做功：mgx=-△E_P
彈簧彈力做功$\frac{1}{2}k{（x+{x_0}）^2}-\frac{1}{2}kx_0^2=-△{E_彈}$
因此，在O下方x處系統(tǒng)勢能為：
$\begin{array}{l}E=△{E_P}+△{E_彈}\\=-mgx+\frac{1}{2}k{（x+x_0^{\;}）^2}-\frac{1}{2}kx_0^2\\=\frac{1}{2}k{x^2}\end{array}$
解法二：當(dāng)小球在豎直方向靜止時，有：kx₀=mg
當(dāng)小球在豎直方向運動經(jīng)過O點下方x時，所受合力大小為
$\begin{array}{l}F={F_彈}-mg\\=k（x+{x_0}）-mg\\=kx\end{array}$
此力的大小只與小球相對其平衡位置的距離x有關(guān)，這個力做功對應(yīng)于系統(tǒng)的勢能．畫出合力F隨x變化的圖象：
圖象中圖線所圍成的面積即為小球從x處回O點，合力F做功，$W=\frac{1}{2}k{x^2}$
O點為系統(tǒng)勢能零點，那么小球在x處的系統(tǒng)是能為：$E=\frac{1}{2}k{x^2}$
答：小球運動到O點下方x處時系統(tǒng)的勢能是$\frac{1}{2}k{x}^{2}$

點評 該題根據(jù)功能關(guān)系來分析彈簧的彈性勢能與彈簧的伸長量之間的關(guān)系，難度不大，關(guān)鍵是要把握住能量轉(zhuǎn)化的方向．