Question

20．在某次霧霾天氣下某高速公路同一直線車道上有同向勻速行駛的轎車和貨車，其速度大小分別為v₁=108km/h，v₂=54km/h，轎車在與貨車距離s₀=40m時才發(fā)現(xiàn)前方有貨車，若此時轎車立即剎車，則轎車要經(jīng)過s=180m才停下來．兩車可視為質點．
（1）求轎車剎車后的加速度a₁
（2）若轎車剎車時貨車以v₂勻速行駛，請判斷兩車是否相撞？若會相撞，將在轎車剎車后何時相撞？若不會相撞，則兩車最近距離x是多少？
（3）若轎車在剎車的同時給貨車發(fā)信號，貨車司機經(jīng)t₀=2s收到信號后立即加速前進，則貨車的加速度a₂至少多大才能避免與轎車相撞？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勻變速直線運動的速度位移公式求出轎車剎車后的加速度．
（2）根據(jù)速度時間公式求出兩車速度相等經(jīng)歷的時間，根據(jù)位移公式求出兩者的位移，通過位移關系判斷是否相撞，若不相撞，速度相等時有最近距離．
（3）根據(jù)位移公式和速度公式求出貨車接到信號后兩車的距離，以及轎車的速度，抓住速度相等時，恰好不相撞，結合速度公式和位移公式進行求解．

解答 解：（1）108km/h=30m/s，54km/h=15m/s，
轎車剎車后的加速度為：
${a}_{1}=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2s}=\frac{900}{360}m/{s}^{2}=2.5m/{s}^{2}$．
（2）當兩車的速度相同時，用時為：
${t}_{1}=\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{30-15}{2.5}s=6s$，
轎車比貨車多運動的位移為：
${x}_{1}=\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}{t}_{1}-{v}_{2}{t}_{1}$=$\frac{30+15}{2}×6-15×6$m=45m，
因為x₁＞s₀，所以兩車會相撞．
設在轎車剎車后經(jīng)過時間t₂相撞，則有位移之差為：
$△x={v}_{1}{t}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{2}}^{2}-{v}_{2}{t}_{2}$=40m
解代入數(shù)據(jù)得t₂=4s 或 7s（不合題意，舍去） 
（3）經(jīng)過時間t₀=2 s 兩車的距離為：${x}_{3}={s}_{0}-（{v}_{1}{t}_{0}-\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{0}}^{2}-{v}_{2}{t}_{0}）$，
代入數(shù)據(jù)解得：x₃=15m，
轎車的速度為：v₃=v₁-a₁t₀=30-2.5×2m/s=25m/s，
當兩車的速度達到相同時，恰好到達同一位置，此時貨車的加速度最小，有：
${x}_{3}=\frac{{{v}_{3}}^{2}-{{v}_{共}}^{2}}{2{a}_{1}}-\frac{{{v}_{共}}^{2}-{{v}_{2}}^{2}}{2{a}_{2}}$，
又 $\frac{{v}_{3}-{v}_{共}}{{a}_{1}}=\frac{{v}_{共}-{v}_{2}}{{a}_{2}}$，
聯(lián)立解得：${a}_{2}=\frac{5}{6}m/{s}^{2}$．
所以貨車的加速度至少為$\frac{5}{6}m/{s}^{2}$才能避免相撞．
答：（1）轎車剎車后的加速度為-2.5m/s²．
（2）兩車會相撞，剎車后經(jīng)過4s相撞．
（3）貨車的加速度至少為$\frac{5}{6}m/{s}^{2}$才能避免相撞．

點評 本題考查了運動學中的追及問題，關鍵抓住臨界狀態(tài)，即速度相等時，恰好不相撞，結合運動學公式靈活求解，難度中等．