Question

如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一邊界半徑為R的圓形勻強磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強度為B，方向垂直紙面向里．一質(zhì)量為m、電量為q的負點電荷從圓邊緣的P點沿直徑方向進入勻強磁場中，射出磁場時速度方向偏轉(zhuǎn)了60°．不計點電荷的重力．
（1）求點電荷速度υ的大��？
（2）如果點電荷速度大小不變，以不同方向從P點進入圓形勻強磁場區(qū)域，點電荷在磁場中運動時間不同，求點電荷在磁場中運動的最長時間？

Answer 1

分析：（1）粒子飛出此磁場區(qū)域時速度方向偏轉(zhuǎn)60°角，帶電粒子軌跡對應(yīng)的圓心角也等于60°，畫出軌跡，由幾何關(guān)系求出軌跡半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求出點電荷速度υ的大�。�
（2）點電荷速度大小不變，粒子在磁場中勻速圓周運動的軌跡半徑不變，當入射點與出射點的弦最長時軌跡對應(yīng)的圓心角最大，時間最長，可知點電荷從P進入磁場，從直徑的另一端Q射出磁場時，軌跡對應(yīng)的圓心角最大，時間最長，根據(jù)幾何知識求出最大的軌跡圓心角θ，由t=

θ

2π

T求出最長的時間．

解答：解：（1）如圖所示，點電荷在勻強磁場中做勻速圓周運動的圓心為O₁，從P₁點離開圓形勻強磁場區(qū)域，設(shè)軌跡半徑為r，由圖可知：
∠P₁OQ=60°
則∠PO₁O=30°
由幾何知識得：r=Rcot∠PO₁O=Rcot30°=

3

R
根據(jù)洛倫茲力提供向心力，得：
  qvB=m

v2

r

解得，v=

3 qBR

m

（2）帶電粒子在圓形勻強磁場中做勻速圓周運動的圓軌道對應(yīng)的弦越長，圓心角越大，運動時間就越長．當圓形區(qū)域的直徑為圓軌道的弦長時，點電荷的運動時間最長．如圖所示，當粒子從P點射入磁場，從Q點離開磁場時，時間最長，O₂為此時的圓心，設(shè)圓心角∠PO₂Q=θ，則
則有：sin

θ

2

=

R

r

=

R

3 R

=

3

3

解得，θ=2arcsin

3

3

所以點電荷在磁場中運動的最長時間為 t_m=

θ

2π

T，T=

2πm

qB

解得，t_m=

2marcsin 3 3

qB

答：
（1）點電荷速度υ的大小為

3 qBR

m

．
（2）點電荷在磁場中運動的最長時間為

2marcsin 3 3

qB

．

點評：本題關(guān)鍵要掌握推論：粒子速度的偏向角等于軌跡的圓心角，就能根據(jù)幾何知識求出軌跡半徑，并求出速度，根據(jù)幾何知識確定最大的圓心角，從而求出最長時間．