Question

9．有兩顆行星A、B，在這兩顆行星表面附近各有一顆衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運動，若這兩顆衛(wèi)星運行的周期相等，則下列說法正確是（　　）

• A． 兩顆行星的半徑相等
• B． 兩顆行星的密度相等
• C． 兩顆衛(wèi)星的質量相等
• D． 兩顆衛(wèi)星的線速度大小相等

Answer 1

分析 人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，根據(jù)人造衛(wèi)星的萬有引力等于向心力，列式求出線速度、角速度、周期的表達式．進而分析各量的大小關系；由人造衛(wèi)星的萬有引力等于向心力，用T表示向心力，求出質量后除以體積得密度．

解答 解：A、對于行星的近地衛(wèi)星，軌道半徑等于行星的半徑，根據(jù)萬有引力提供向心力有，$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$①，得$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{GM}}$，由于行星質量不確定，行星的半徑不確定，故A錯誤；
B、行星的質量由①得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$，周期相同，則兩顆行星的密度相等，故B正確；
C、根據(jù)題目的數(shù)據(jù)無法判斷兩衛(wèi)星的質量，故C錯誤．
D、根據(jù)$v=\frac{2πR}{T}$，故線速度與行星的半徑成正比，線速度大小不一定相等．故D錯誤．
故選：B

點評 本題要掌握衛(wèi)星繞行星表面做勻速圓周運動時，萬有引力提供向心力，可以計算出中心天體即行星的質量，再根據(jù)密度的定義式可計算出行星的密度．