Question

7．為了探測X星球，載著登陸艙的探測飛船在離星球表面較高的，半徑為r₁的圓軌道上運動，周期為T₁總質(zhì)量為m₁隨后登陸艙脫離飛船，先變軌到離星球表面高度可以忽略，半徑為r₂的圓軌道上運動，此登陸艙的質(zhì)量為m₂，則（　�。�

• A． 登陸艙在r₁與r₂軌道上運動時的速度大小之比為$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{{{r}_{2}}^{2}}{{{r}_{1}}^{2}}$
• B． 登陸艙在半徑為r₂軌道上做圓周運動的周期為T₂=$\root{3}{{\frac{r_1^2}{r_2^2}}}{T_1}$
• C． X星球的質(zhì)量為M=$\frac{{4{π^2}r_1^3}}{GT_1^2}$
• D． X星球表面的重力加速度為g_x=$\frac{{4{π^2}{r_1}}}{T_1^2}$

Answer 1

分析 研究飛船繞星球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式求出中心體的質(zhì)量；研究登陸艙繞星球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式表示出線速度和周期；再通過不同的軌道半徑進(jìn)行比較．

解答 解：A、C、研究飛船繞星球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式：$G\frac{M{m}_{1}}{{{r}_{1}}^{2}}={m}_{1}{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$，解得：M=$\frac{4{π}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$．
研究登陸艙繞星球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，在半徑為R的圓軌道上運動：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，表達(dá)式里M為中心體星球的質(zhì)量，R為運動的軌道半徑；
所以登陸艙在r₁與r₂軌道上運動時的速度大小之比為：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{{m}_{1}{r}_{2}}{{m}_{2}{r}_{1}}}$．故A錯誤，C正確；
B、研究登陸艙繞星球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$，得出：T=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$；
表達(dá)式里M為中心體星球的質(zhì)量，R為運動的軌道半徑．所以登陸艙在r₁與r₂軌道上運動時的周期大小之比為$\sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{r}_{2}}^{3}}}$，所以周期為T₂=T₁$\sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{r}_{2}}^{3}}}$；故B錯誤；
D、由題意，該星的半徑為r₂，則$G\frac{M{m}_{1}}{{r}_{2}^{2}}={m}_{1}{g}_{x}$，${g}_{x}=\frac{GM}{{r}_{2}^{2}}=\frac{4{π}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{{T}_{1}^{2}•{r}_{2}^{2}}$．故D錯誤．
故選：C

點評 本題主要考查萬有引力提供向心力這個關(guān)系，要注意向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．