Question

2．如圖所示，光滑水平面左端的固定裝置P能根據(jù)需要發(fā)射和接收質(zhì)量m=0.1kg、速度為v₀=8m/s的小球；右邊用一長(zhǎng)為L(zhǎng)=2.45m的不可伸長(zhǎng)細(xì)線系一質(zhì)量M=0.3kg的小球B，繩另一端固定于懸點(diǎn)，起初繩拉直，小球B靜止于地面上且對(duì)地面的壓力恰為零．某時(shí)刻讓P發(fā)射一小球與靜止的小球B發(fā)生碰撞，假定以后每當(dāng)小球B經(jīng)最低點(diǎn)且向右運(yùn)動(dòng)時(shí)就有一發(fā)射小球與小球B碰撞，導(dǎo)致小球B擺動(dòng)的最大高度逐漸增加，設(shè)每次碰撞均沒(méi)有機(jī)械能損失，g=10m/s²．求：
（1）第一次碰撞后，小球B上升的最大高度h；
（2）裝置P要發(fā)射多少個(gè)小球，才能使小球B上升到與懸點(diǎn)等高處．

Answer 1

分析 （1）碰撞后B的機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律可以求出碰撞后B的速度，由機(jī)械能守恒求出B上升的高度；
（2）碰撞過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒，多次應(yīng)用即可求出．

解答 解：（1）當(dāng)m與靜止的B的發(fā)生碰撞后，設(shè)m的速度為v₁，B的速度為v'₁，由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒有：mv_o=mv₁+Mv'₁…①
$\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}Mv'_1^2$…②
解得：${v'_1}=\frac{2m}{m+M}{v_o}=\frac{1}{2}{v_o}$…③
B向上擺動(dòng)過(guò)程中，由機(jī)械能守恒有：$\frac{1}{2}Mv'_1^2=Mgh$…④
解得：$h=\frac{{{v_0}^2}}{8g}=0.8m$…⑤
（2）當(dāng)B再擺到最低點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，P發(fā)射的小球第二次與其碰撞，設(shè)碰后m的速度為v₂，B的速度為v'₂，由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒有：
mv_o+Mv'₁=mv₂+Mv'₂…⑥
$\frac{1}{2}mv_0^2+\frac{1}{2}Mv'_1^2=\frac{1}{2}mv_2^2+\frac{1}{2}Mv'_2^2$…⑦
解得：${v'_2}=\frac{{（M-m）{{v'}_1}+2m{v_o}}}{m+M}=\frac{3}{4}{v_o}=\frac{{{2^2}-1}}{2^2}{v_o}$
當(dāng)P發(fā)射的小球第三次與其碰撞，設(shè)碰后B的速度為v'₃，同理有：
$v{′}_{3}=\frac{{2}^{3}-1}{{2}^{3}}{v}_{0}$
當(dāng)P發(fā)射的小球第n次與其碰撞，設(shè)碰后B的速度為v'_n，同理有，${v'_n}=\frac{{（M-m）{{v'}_{n-1}}+2m{v_o}}}{m+M}=\frac{{{2^n}-1}}{2^n}{v_o}$…⑧
若讓小球B上升到與懸點(diǎn)等高處，則$\frac{1}{2}Mv'_n^2=MgL$…⑨
得：v'_n=$\sqrt{2gL}=\sqrt{2×10×2.45}m/s=\sqrt{45}m/s≈$6.7m/s
將v'_n代入，即：$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}{v}_{0}≥6.7$…⑩
解得：n=3
答：（1）第一次碰撞后，小球B上升的最大高度是0.8m；
（2）裝置P要發(fā)射3個(gè)小球，才能使小球B上升到與懸點(diǎn)等高處．

點(diǎn)評(píng) 本題是多過(guò)程問(wèn)題，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律即可正確解題