Question

7．萬有引力定律清楚的向人們揭示復雜運動的背后隱藏著簡潔的科學規(guī)律，天上和地上的萬物遵循同樣的科學法則．
（1）已知引力常數(shù)G、地面的重力加速度g和地球半徑R，根據(jù)以上條件，求地球的質(zhì)量和密度．
（2）隨著我國“嫦娥三號”探測器降落月球，“玉兔”巡視器對月球進行探索，我國對月球的了解越來越深入．若已知月球半徑為R_月，月球表面的重力加速度為g_月，嫦娥三號在降落月球前某階段繞月球做勻速圓周運動的周期為T，試求嫦娥三號該階段繞月球運動的軌道半徑．

Answer 1

分析 （1）地球表面的物體受到的重力等于地球對它的萬有引力，據(jù)此求出地球的質(zhì)量，然后應用密度公式求出密度．
（2）萬有引力提供嫦娥三號做圓周運動的向心力，應用牛頓第二定律可以求出軌道半徑．

解答 解：（1）設地球質(zhì)量為M．某物體質(zhì)量為m，
地球表面的物體受到的重力等于地球對它的萬有引力，
即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，解得，地球質(zhì)量：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
地球的密度：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$，
（2）對月球上的某物體受到的重力等于萬有引力：mg_月=G$\frac{{M}_{月}m}{{R}_{月}^{2}}$，
對嫦娥三號繞月運行，由牛頓第二定律得：G$\frac{{M}_{月}m′}{{r}^{2}}$=m′$（\frac{2π}{T}）^{2}$r，
解得：r=$\root{3}{\frac{{g}_{月}{T}^{2}{R}_{月}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
答：（1）地球的質(zhì)量為$\frac{g{R}^{2}}{G}$，密度為$\frac{3g}{4πGR}$．
（2）嫦娥三號該階段繞月球運動的軌道半徑為r$\root{3}{\frac{{g}_{月}{T}^{2}{R}_{月}^{2}}{4{π}^{2}}}$．

點評 本題考查了萬有引力定律的應用，知道萬有引力等于重力、萬有引力提供向心力，應用萬有引力公式與牛頓第二定律可以解題，解題時要注意GM的代換．