Question

9．如圖所示，兩個(gè)半徑均為R的甲、乙大環(huán)，都在豎直平面內(nèi)，甲環(huán)是粗糙的，乙環(huán)是光滑的，兩個(gè)大環(huán)上套有相同的小環(huán)，讓甲環(huán)繞圓心O在豎直平面內(nèi)做沿逆時(shí)針?lè)较虻膭蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，甲與小環(huán)的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，小環(huán)相對(duì)大環(huán)靜止的位置與大環(huán)圓心的連線與過(guò)圓心豎直線成一定角度，現(xiàn)讓乙環(huán)繞過(guò)圓心的豎直軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)果小環(huán)相對(duì)大環(huán)靜止的位置與圓心的連線與豎直軸所成角度與甲環(huán)中小環(huán)的情況相同，則乙環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為（　�。�

• A． $\sqrt{\frac{μg}{R}}$
• B． $\sqrt{\frac{g\sqrt{1+{μ}^{2}}}{R}}$
• C． $\sqrt{\frac{g}{R\sqrt{1+{μ}^{2}}}}$
• D． $\sqrt{\frac{μg}{R\sqrt{1+{μ}^{2}}}}$

Answer 1

分析 針對(duì)兩種情況下的小球受力分析，根據(jù)合力提供向心力，分別求出小球運(yùn)動(dòng)的角速度的表達(dá)式，然后通過(guò)比較即可．

解答 解：甲環(huán)繞圓心O在豎直平面內(nèi)做沿逆時(shí)針?lè)较虻膭蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，小球的受力如圖甲，小球在三個(gè)力的作用下處于平衡狀態(tài)，

設(shè)小球與圓心的連線與豎直方向之間的夾角是θ，則：N₁cosθ+fsinθ=mg
N₁sinθ-fcosθ=0
f=μN(yùn)₁
聯(lián)立以上3=三式，得：N₁=mgcosθ
f=mgsinθ
$tanθ=\frac{f}{{N}_{1}}=\frac{μ{N}_{1}}{{N}_{1}}=μ$
對(duì)乙環(huán)上的小球，小球受力如圖乙，所受的合力為：ma=F_合=mgtanθ，
小球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為：r=Rsinθ，
根據(jù)F_合=mω²r
得角速度：
ω=$\sqrt{\frac{g}{Rcosθ}}$=$\sqrt{\frac{g\sqrt{1+{μ}^{2}}}{R}}$
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 該題中，甲圖中的小球處于共點(diǎn)力的平衡狀態(tài)，而乙圖中的小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分別以小球?yàn)檠芯康膶?duì)象，結(jié)合受力分析即可正確解答．其中解決本題的關(guān)鍵知道小球做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解．