Question

17．如圖所示，帶電平行金屬板相距為2R，在兩板間半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，兩板及其左側(cè)邊緣連線均與磁場(chǎng)邊界剛好相切．一質(zhì)子（不計(jì)重力）沿兩板間中心線O₁O₂從左側(cè)O₁點(diǎn)以某一速度射入，沿直線通過(guò)圓形磁場(chǎng)區(qū)域，然后恰好從極板邊緣飛出，在極板間運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₀．若僅撤去磁場(chǎng)，質(zhì)子仍從O₁點(diǎn)以相同速度射入，經(jīng)$\frac{{t}_{0}}{2}$時(shí)間打到極板上．
（1）求兩極板間電壓U；
（2）求質(zhì)子從極板間飛出時(shí)的速度大小；
（3）若兩極板不帶電，保持磁場(chǎng)不變，質(zhì)子仍沿中心線O₁O₂從O₁點(diǎn)射入，欲使質(zhì)子從兩板間左側(cè)飛出，射入的速度應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由受力平衡條件，通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與牛頓第二定律，結(jié)合電場(chǎng)力與洛倫茲力表達(dá)式，即可求解；
（2）由速度與時(shí)間關(guān)系，可求質(zhì)子在沿電場(chǎng)方向的速度，因此可求出飛出極板間的速度大�。�
（3）質(zhì)子恰好從上極板左邊緣飛出，因此由幾何關(guān)系，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與向心力表達(dá)式，從而可求出質(zhì)子兩板左側(cè)間飛出的條件．

解答 解：（1）設(shè)質(zhì)子從左側(cè)O₁點(diǎn)射入的速度為v₀，極板長(zhǎng)為L(zhǎng)，在復(fù)合場(chǎng)中作勻速運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力等于洛倫茲力，則有q$\frac{U}{2R}$=qv₀B ①
質(zhì)子在電場(chǎng)中作類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)類平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則
  L-2R=v₀t  ②
  R=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}^{2}$ ③
又L=v₀t₀  ④
撤去磁場(chǎng)后僅受電場(chǎng)力，有R=$\frac{1}{2}$•$\frac{qE}{m}（\frac{{t}_{0}}{2}）^{2}$ ⑤
解得t=$\frac{{t}_{0}}{2}$，L=4R，v₀=$\frac{4R}{{t}_{0}}$，U=$\frac{8{R}^{2}B}{{t}_{0}}$
（2）質(zhì)子從極板間飛出時(shí)的沿電場(chǎng)方向分速度大小
   v_y=$\frac{qE}{m}t$
由③得v_y=$\frac{2R}{t}$=v₀ ⑥
則從極板間飛出時(shí)的速度大小v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}{v}_{0}$=$\frac{4\sqrt{2}R}{{t}_{0}}$ ⑦
（3）設(shè)質(zhì)子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，質(zhì)子恰好從上極板左邊緣飛出時(shí)速度的偏轉(zhuǎn)角為α，由幾何關(guān)系可知：
  β=π-α=45°，r+$\sqrt{2}$r=R  ⑨
因?yàn)?R=\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}（\frac{{t}_{0}}{2}）^{2}$，所以$\frac{qE}{m}=\frac{q{v}_{0}B}{m}=\frac{8R}{{t}_{0}^{2}}$  ⑩
根據(jù)向心力公式 $qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$，解得 v=$\frac{2（\sqrt{2}-1）R}{{t}_{0}}$
所以，質(zhì)子兩板左側(cè)間飛出的條件為 0＜v＜$\frac{2（\sqrt{2}-1）R}{{t}_{0}}$
答：（1）兩極板間電壓U是$\frac{8{R}^{2}B}{{t}_{0}}$；
（2）質(zhì)子從極板間飛出時(shí)的速度大小是$\frac{4\sqrt{2}R}{{t}_{0}}$．
（3）射入的速度應(yīng)滿足0＜v＜$\frac{2（\sqrt{2}-1）R}{{t}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 考查粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)、類平拋運(yùn)動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)的處理方法，掌握運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與牛頓第二定律的綜合應(yīng)用，理解幾何關(guān)系的正確使用．