Question

17．為了使粒子經過一系列的運動后，又以原來的速率沿相反方向回到原位置O點，設計了如圖所示的電、磁場區(qū)域．左側為兩水平放置的平行金屬板，板長均為l，區(qū)域Ⅰ（梯形PQCD）內有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B；區(qū)域Ⅱ（三角形APD）內的磁場方向與Ⅰ內相同，但是大小可以不同；區(qū)域Ⅲ（虛線PD之右、三角形APD之外）的磁場與Ⅱ內大小相等、方向相反．已知等邊三角形AQC的邊長為2l，AC邊水平，P、D分別為AQ、AC的中點．QC邊的中點N恰好在下金屬板的右端點．帶正電的粒子從平行金屬板的中心軸線左端O點水平射入，在電場力作用下從N點以速度v垂直QC射入區(qū)域I，再從P點垂直AQ射入區(qū)域，又經歷一系列運動后，返回O點．粒子重力忽略不計．求：
（1）該粒子在O點射入電場時的速度大��；
（2）該粒子的比荷；
（3）該粒子從O點出發(fā)，到再次回到O點的整個運動過程所用的時間．

Answer 1

分析 根據(jù)運動的合成與分解求解該粒子在O點射入電場時的速度大��；
由幾何關系求得粒子圓周運動的半徑，由牛頓第二定律求粒子的比荷；
帶電粒子在電場、磁場中運動的總時間包括：電場總往返的時間t₀，區(qū)域I中的時間t₁，區(qū)域Ⅱ和Ⅲ中的時間t₂

解答 解：（1）因為粒子以速度v垂直QC射入區(qū)域I，又因為QC為等邊三角形AQC的左邊，所以v跟水平方向的夾角為30°
設粒子在O點水平射入電場時的速度大小為v₀，則：
v₀=vcos30°
解得：v₀=$\frac{\sqrt{3}}{2}$v
（2）設粒子的質量為m，電量為q，因為粒子在N點，P點的速度方向都跟磁場邊界垂直，所以Q點為粒子在區(qū)域I中做勻速圓周運動的圓心，設半徑為R，由幾何關系得：
R=l
由牛頓第二定律和洛倫茲公式得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{v}{Bl}$
（3）帶電粒子在電場、磁場中運動的總時間包括：電場總往返的時間t₀，區(qū)域I中的時間t₁
區(qū)域Ⅱ和Ⅲ中的時間t₂
在電場中：根據(jù)類平拋運動規(guī)律得 t₀=2$\frac{l}{{v}_{0}}$
聯(lián)立得：t₀=$\frac{4\sqrt{3}l}{3v}$
在區(qū)域Ⅰ中：粒子的運動軌跡如圖，是兩段$\frac{1}{6}$圓弧，故，在區(qū)域I中的時間為：
t₁=2×$\frac{πl(wèi)}{3v}$
在區(qū)域Ⅱ和區(qū)域Ⅲ中：粒子做圓周運動的半徑相同，設為r，
分析知，其運動軌跡如圖甲或乙兩種情況，

對于軌跡甲，由幾何關系得：（4nr+3r）=l
解得：r=$\frac{l}{4n+3}$（n=0，1，2，3…）
分析可知，粒子在區(qū)域Ⅱ和Ⅲ中運動的總路程應為（2n+1+$\frac{1}{6}$）個圓周周長，即：
s=（2n+1+$\frac{1}{6}$）2πr
所以粒子在區(qū)域Ⅱ和Ⅲ內的運動時間為t₂=$\frac{s}{v}$
聯(lián)立得：t₂=$\frac{（12n+7）πl(wèi)}{3（4n+3）v}$
故粒子在全過程中運動的總時間為：t=t₀+t₁+t₂=$\frac{4\sqrt{3}l}{3v}$+$\frac{（20n+13）πl(wèi)}{3（4n+3）v}$（n=0，1，2，3…）
對于軌跡乙，由幾何關系得：（4nr+r）=l
解得：r=$\frac{l}{4n+1}$（n=0，1，2，3…）
分析可知，粒子在區(qū)域Ⅱ和Ⅲ內運動的總路程應為（2n+$\frac{5}{6}$）個圓周周長，即：
s=（2n+$\frac{5}{6}$）×2πr
所以粒子在區(qū)域Ⅱ和Ⅲ中運動的時間為t₂=$\frac{s}{v}$
解得：t₂=$\frac{（12n+5）πl(wèi)}{3（4n+1）v}$
所以粒子在全過程中運動的總時間為：t=t₀+t₁+t₂=$\frac{4\sqrt{3}l}{3v}$+$\frac{（20n+7）πl(wèi)}{3（4n+1）v}$（n=0，1，2，3…）
答：（1）該粒子在O點射入電場時的速度大小為$\frac{\sqrt{3}}{2}$v；
（2）該粒子的比荷$\frac{v}{Bl}$；
（3）該粒子從O點出發(fā)，到再次回到O點的整個運動過程所用的時間為$\frac{4\sqrt{3}l}{3v}$+$\frac{（20n+13）πl(wèi)}{3（4n+3）v}$（n=0，1，2，3…）或$\frac{4\sqrt{3}l}{3v}$+$\frac{（20n+7）πl(wèi)}{3（4n+1）v}$（n=0，1，2，3…）．

點評 本題屬于帶電粒子在組合場中運動問題，綜合性較強．磁場中圓周運動要畫軌跡分析運動過程，探索規(guī)律，尋找半徑與三角形邊的關系是關鍵．