Question

4．如圖所示，在矩形區(qū)域abcd內(nèi)有勻強電場和勻強磁場．已知電場方向平行于ad邊且由a向d，磁場方面垂直于abcd平面，ab邊長為$\sqrt{3}$L，ad邊長為2L．一帶電粒子從ad邊的中點O平行于ab方向以大小為v₀的速度射入場區(qū)，恰好做勻速直線運動；若撤去電場，其它條件不變，則粒子從c點射出場區(qū)（粒子重力不計）．
（1）求撤去電場后，該粒子在磁場中的運動時間；
（2）若撤去磁場，其它條件不變，求粒子射出電場時的速度大�。�
（3）若在（2）問中，粒子射出矩形區(qū)域abcd后立即進入另一矩形磁場區(qū)域，該矩形磁場區(qū)域的磁感應強度大小和方向與（2）問中撤去的磁場完全相同，粒子經(jīng)過該矩形區(qū)域后速度平行bc，試求該矩形區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）撤去電場后，粒子在磁場中做勻速圓周運動，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑和圓心角，求出圓弧長度，由$t=\frac{△s}{v}$求出時間；
（2）先根據(jù)類平拋運動判斷粒子射出電場的位置，再根據(jù)動能定理求出粒子射出電場的速度；
（3）結(jié)合粒子的運動軌跡的特點，畫出磁場最小的區(qū)域，然后根據(jù)幾何關(guān)系求得結(jié)果．

解答 解：（1）撤去電場后，帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，設圓半徑為R，在場區(qū)內(nèi)軌跡圓所對應圓心角為θ，由幾何關(guān)系有：$（R-L）_{\;}^{2}+（\sqrt{3}L）_{\;}^{2}={R}_{\;}^{2}$
$sinθ=\frac{\sqrt{3}L}{R}$
解得R=2L，$θ=\frac{π}{3}$
軌跡圓弧長為$l=Rθ=\frac{2πL}{3}$
在磁場中運動時間${t}_{磁}^{\;}=\frac{l}{{v}_{0}^{\;}}=\frac{2πL}{3{v}_{0}^{\;}}$
（2）電場和磁場均存在時，粒子做勻速直線運動：$qE=q{v}_{0}^{\;}B$
撤去電場，粒子做勻速圓周運動：$q{v}_{0}^{\;}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，R=2L
聯(lián)解得：$qE=\frac{m{v}_{0}^{2}}{2L}$
撤去磁場后，帶電粒子在電場中作類平拋運動，假設帶電粒子從ab邊射出場區(qū)，由運動學規(guī)律有：
$L=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$，而$a=\frac{qE}{m}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2L}$
解得：$t=\frac{2L}{{v}_{0}^{\;}}$
帶電粒子沿ab方向運動距離為$x={v}_{0}^{\;}t=2L$，x大于ab邊長，故假設不成立，帶電粒子從bc邊射出場區(qū)，則${t}_{電}^{\;}=\frac{\sqrt{3}L}{{v}_{0}^{\;}}$
只有電場時，帶電粒子出場區(qū)時沿電場力方向偏距為：
$y=\frac{1}{2}a{t}_{電}^{2}$=$\frac{1}{2}×\frac{{v}_{0}^{2}}{2L}×（\frac{\sqrt{3}L}{{v}_{0}^{\;}}）_{\;}^{2}$=$\frac{3}{4}L$
帶電粒子在電場中運動，由動能定理有：$qEy=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得帶電粒子射出電場時速度大小為$v=\frac{\sqrt{7}}{2}{v}_{0}^{\;}$
（3）設粒子出電場的速度偏向角為θ，進入右側(cè)磁場區(qū)域作圓周運動半徑為r，對應軌跡圓心角為2α，粒子運動軌跡如圖所示

結(jié)合（2）知$r=\frac{mv}{qB}=\frac{m•\frac{\sqrt{7}}{2}{v}_{0}^{\;}}{qB}=\frac{\sqrt{7}}{2}\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}=\frac{\sqrt{7}}{2}×2L=\sqrt{7}$L，$cosθ=\frac{2}{7}\sqrt{7}$
得$θ=arccos\frac{2\sqrt{7}}{7}$
由幾何知識得：$\frac{π}{2}-θ+2α=π$
解得：$α=\frac{π}{4}+\frac{θ}{2}$
所加磁場的矩形區(qū)域為efgh
矩形磁場的兩邊長分別為：eh=2rsinα，ef=r（1-cosα）
結(jié)合上述幾式得矩形最小面積
${S}_{min}^{\;}$=ef×eh=14${L}_{\;}^{2}$$[sin（\frac{1}{2}arccos\frac{2\sqrt{7}}{7}+\frac{π}{4}）-\frac{\sqrt{7}}{7}]$
答：（1）撤去電場后，該粒子在磁場中的運動時間$\frac{2πL}{3{v}_{0}^{\;}}$；
（2）若撤去磁場，其它條件不變，粒子射出電場時的速度大小$\frac{\sqrt{7}}{2}{v}_{0}^{\;}$；
（3）若在（2）問中，粒子射出矩形區(qū)域abcd后立即進入另一矩形磁場區(qū)域，該矩形磁場區(qū)域的磁感應強度大小和方向與（2）問中撤去的磁場完全相同，粒子經(jīng)過該矩形區(qū)域后速度平行bc，該矩形區(qū)域的最小面積$14{L}_{\;}^{2}[sin（\frac{1}{2}arccos\frac{2\sqrt{7}}{7}+\frac{π}{4}）-\frac{\sqrt{7}}{7}]$．

點評 本題主要考查了帶電粒子在組合場中運動的問題，要求同學們能正確分析粒子的受力情況，再通過受力情況分析粒子的運動情況，熟練掌握圓周運動及平拋運動的基本公式，難度偏難．