Question

4．如圖所示，水平面左側(cè)固定有光滑斜面ABC，斜面與水平面平滑相連．水平面上D點(diǎn)置一小球，小球系一長為R的細(xì)線，細(xì)線另一端固定在D點(diǎn)正上方O點(diǎn)，水平面右側(cè)E處有一豎直墻壁，小物塊與水平面DE間動摩擦因數(shù)為μ，其余皆光滑．小物塊從斜面上一定高度處由靜止釋放，滑到水平面與小球發(fā)生碰撞，碰后小球恰好能做完整的圓周運(yùn)動，當(dāng)小球與小物塊發(fā)生第三次碰撞后恰能擺到與O點(diǎn)相平的位置．已知小物塊與小球質(zhì)量均為m且都可看成質(zhì)點(diǎn)，小物塊與小球及墻壁的碰撞都是彈性碰撞，下列說法正確的是（　�。�

• A． 小物塊釋放的高度為$\frac{5}{2}$R
• B． DE間的距離為$\frac{3R}{2μ}$
• C． 小物塊在DE間運(yùn)動的路程為$\frac{5R}{μ}$
• D． 小物塊與小球共發(fā)生4次碰撞

Answer 1

分析 小球恰好在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動時，在最高點(diǎn)，由重力提供向心力，由此可求出小球通過最高點(diǎn)時的臨界速度；小物塊與小球質(zhì)量相等，發(fā)生彈性碰撞后交換速度．對滑塊從下滑到與小球碰撞過程運(yùn)用動能定理列式，聯(lián)立方程組求解小物塊釋放的高度．
根據(jù)小球與小物塊發(fā)生第三次碰撞后恰能擺到與O點(diǎn)相平的位置，由動能定理求DE間的距離．
小物塊與小球碰撞后，速度傳遞給小球，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，經(jīng)過一圈后從左側(cè)碰撞小物塊，速度傳遞給物塊，物塊向右移動，碰撞擋板后返回，再次通過碰撞將速度傳遞給小球，小球順時針轉(zhuǎn)動一周，從右側(cè)通過碰撞將速度傳遞給物塊，物塊向左移動，沖上斜面后返回，再次從左側(cè)碰撞小球，完成一個周期的運(yùn)動；此后不斷重復(fù)這個過程，直到小球不能做完整的圓周運(yùn)動為止．對整個過程，運(yùn)用能量守恒定律列式，求出小物塊在DE段通過的總路程，再求小物塊與小球碰撞的次數(shù)．

解答 解：A、小球剛能完成一次完整的圓周運(yùn)動時，設(shè)它到最高點(diǎn)的速度為v₀，在最高點(diǎn)，僅有重力充當(dāng)向心力，則有：
  mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$ 
在小物塊B從h處運(yùn)動到最低點(diǎn)的過程中，由動能定理可知：
   mgh=$\frac{1}{2}$mv²；
碰后小物塊與小球交換速度，對小球由最低點(diǎn)到最高點(diǎn)過程，由機(jī)械能守恒定律可得：
  mg•2R+$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv²
聯(lián)立解得：v=$\sqrt{5gR}$，h=$\frac{5}{2}$R，故A正確．
B、小球與小物塊發(fā)生第三次碰撞后恰能擺到與O點(diǎn)相平的位置，設(shè)第三次碰后小球的速度為v₁．
由機(jī)械能守恒定律得 mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$，得 v₁=$\sqrt{2gR}$
則第三次碰撞前小物體的速度大小等于v₁=$\sqrt{2gR}$．
設(shè)DE間的距離為S．
對第二碰撞后到第三次碰撞前的過程，對小物塊，由動能定理得-μmg•2S=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv²；
解得 S=$\frac{3R}{4μ}$，故B錯誤．
CD、設(shè)小物塊在DE間運(yùn)動的路程為S_總，根據(jù)能量守恒定律，有 μmg•S_總=mgh，解得 S_總=$\frac{5R}{2μ}$
設(shè)小物塊與小球共發(fā)生n次碰撞．
因為 $\frac{{S}_{總}}{S}$=$\frac{5}{3}$
所以小物塊與小球共發(fā)生3次碰撞．故CD錯誤．
故選：A

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵要明確物體的運(yùn)動過程，以及知道摩擦產(chǎn)生的熱量為：Q=f•△S，其中△S為總路程，同時要能結(jié)合能量守恒定律、牛頓第二定律、向心力公式進(jìn)行研究．