Question

8．如圖所示，長為L=10.5m的傳送帶與水平面成30°角，傳送帶向上做加速度為a₀=1m/s²的勻加速運動，當(dāng)其速度為v₀=3m/s時，在其底端輕放一質(zhì)量為m=1kg的物塊（可視為質(zhì)點），已知物塊與傳遞帶間的動摩擦因數(shù)為μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，在物塊由底端上升到頂端的過程中，求：
（1）此過程所需的時間；
（2）傳送帶對物塊所做的功；
（3）此過程中產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律可求得物體運動的加速度，由速度公式求出物體增大到等于傳送帶的速度時所用時間，由位移公式可求得物體勻加速上升的位移，從而判斷出物體之后的運動情況，再求解總時間．
（2）由動能定理即可求得傳送帶對物塊所做的功；
（3）求出物體與傳送帶間的相對位移，從而求得此過程中產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）物塊上滑時，由牛頓第二定律有：
μmgcosθ-mgsinθ=ma₁；
設(shè)經(jīng)過的時間t₁物塊與傳送帶的速度相等，則有：
v₀+a₀t₁=a₁t₁；
聯(lián)立解得：a₁=2.5m/s²，t₁=2s
這段時間內(nèi)物塊發(fā)生的位移為：x₁=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$=5m＜L
所以物塊與傳送帶相對靜止后，以加速度a₀勻加速到達(dá)頂端，經(jīng)歷時間為t₂．則速度剛相等時有：
v₁=a₁t₁=5m/s
到達(dá)頂端時有：${v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}$=2a₀（L-x₁）
且有：L-x₁=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}{t}_{2}$
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：t₂=1s
所以在物塊由底端上升到頂端的時間為：t=t₁+t₂=3s
（2）由動能定理得：W-mgLsin30°=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得傳送帶對物塊所做的功為：W=70.5J
（3）物體與傳送帶間發(fā)生的相對位移為：△x=（v₀t₁+$\frac{1}{2}$a₀t₁²）-$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$
產(chǎn)生的熱量為：Q=μmgcosθ•△x
聯(lián)立解得：Q=22.5J
答：（1）此過程所需的時間是3s；
（2）傳送帶對物塊所做的功是70.5J；
（3）此過程中產(chǎn)生的熱量是22.5J．

點評 本題的關(guān)鍵要正確分析物塊的運動過程，根據(jù)受力確定物塊的運動情況，要注意物塊全程中做兩個加速度不同的勻加速運動，求熱量時要用相對位移．