Question

13．若“神舟七號(hào)”宇宙飛船在近地面環(huán)繞地球飛行，已知地球半徑為R，環(huán)繞n周的飛行時(shí)間為t．試求：地球的質(zhì)量M和平均密度ρ．（球體體積公式ρ=$\frac{4π{R}^{3}}{ρ}$．）

Answer 1

分析 宇宙飛船在近地面環(huán)繞地球飛行，環(huán)繞n周飛行時(shí)間為t，求出宇宙飛船運(yùn)行的周期．由地球的萬有引力提供飛船的向心力列方程求出地球的質(zhì)量，由密度公式求出其平均密度．

解答 解：地球?qū)︼w船的萬有引力提供飛船運(yùn)行的向心力，則有：
  G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R．
飛船運(yùn)行的周期：T=$\frac{t}{n}$
聯(lián)立以上二式解得地球的質(zhì)量為：M=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}{R}^{3}}{G{t}^{2}}$
由M=Vρ和V=$\frac{4π{R}^{3}}{3}$
聯(lián)立解得地球的平均密度ρ為 ρ=$\frac{3π{n}^{2}}{G{t}^{2}}$
答：地球的質(zhì)量M為$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}{R}^{3}}{G{t}^{2}}$，平均密度ρ為 $\frac{3π{n}^{2}}{G{t}^{2}}$．

點(diǎn)評 本題題目看似很長，要耐心讀題，抓住要點(diǎn)，建立物理模型：飛船繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力提供向心力，軌道半徑近似等于地球半徑．