Question

5．如圖所示，質(zhì)量為m=0.2kg的小球和A、B兩根細繩相連，兩繩固定在細桿的A、B兩點，其中A繩長L_A=2m，當兩繩都拉直時，A、B兩繩和細桿的夾角θ₁=37°，θ₂=53°，g=10m/s²．求
（1）當細桿轉動的角速度ω在什么范圍內(nèi)，A、B兩繩始終張緊？
（2）求當ω=3rad/s時，小球的機械能．（以細桿靜止時，小球平衡的位置為零勢能點）

Answer 1

分析 （1）小球做圓周運動靠合力提供向心力，求出兩個臨界情況下的加速度，即根據(jù)牛頓第二定律求出B繩恰好拉直，但T_B=0時，細桿的轉動角速度，當A繩恰好拉直，但T_A=0時，細桿的轉動角速度，從而得出角速度的范圍．
（2）當ω=3rad/s時，分別求出動能和重力勢能，再求機械能．

解答 解：（1）當B繩恰好拉直，T_B=0時，細桿的轉動角速度為ω₁，
則有：mgtan37°=mω²L_Asin37°
解得：ω₁=2.5rad/s                    
當A繩恰好拉直，T_A=0時，細桿的轉動角速度為ω₂，
有：mgtan53°=mω²L_Asin37°
解得：ω₂=$\frac{10}{3}$rad/s≈3.3rad/s                   
要使兩繩都拉緊2.5 rad/s＜ω＜3.3rad/s．
（2）以細桿靜止時小球平衡的位置為零勢能點，則小球的重力勢能為：
E_P=mg（L_A-L_Acos37°）=0.8J
動能為：
E_k=$\frac{1}{2}m$（ωL_Asin37°）²=$\frac{1}{2}×0.2×（3×2×0.6）^{2}$J=1.296J
故小球的機械能為：E=E_P+E_k=2.096J
答：（1）當細桿轉動的角速度ω在：2.5 rad/s＜ω＜3.3rad/s范圍內(nèi)，A、B兩繩始終張緊．
（2）當ω=3rad/s時，小球的機械能是2.096J．

點評 解決本題的關鍵得出繩子拉直時的兩種臨界情況，結合牛頓第二定律進行求解，要明確小球做勻速圓周運動時由合力充當向心力．