Question

8．如圖所示，寬為L的光滑平行金屬導(dǎo)軌與水平面成θ角，其下端長為L的部分處于方向垂直于導(dǎo)軌平面，磁感應(yīng)強度隨時間成線性變化的磁場B₁中，其上端部分處于方向垂直導(dǎo)軌平面向下，磁感應(yīng)強度為B₀的勻強磁場中，在圖中ab位置放置長為L，質(zhì)量為m，電阻為r的金屬棒，金屬棒恰好處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)讓方向與金屬垂直，沿導(dǎo)軌平面斜向下的外力F作用在金屬棒上，使金屬棒以加速度大小為a=L沿導(dǎo)軌平面向下加速度到達(dá)cd位置，bd長度為x_bd=2L，已知重力加速度為g，金屬棒始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，導(dǎo)軌電阻不計，求：
（1）B₁隨時間的變化率$\frac{{△B}_{1}}{△t}$
（2）金屬棒到達(dá)cd位置時，外力的功率．

Answer 1

分析 （1）由法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動勢，由歐姆定律與安培力公式求出金屬棒受到的安培力，然后由平衡條件求出磁感應(yīng)強度的變化率．
（2）由勻變速直線運動的速度位移公式求出金屬棒到達(dá)cd位置的速度，應(yīng)用牛頓第二定律求出外力F，然后應(yīng)用功率公式P=Fv求出外力的功率．

解答 解：（1）由法拉第電磁感應(yīng)定律得：
E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△{B}_{1}•S}{△t}$=$\frac{△{B}_{1}}{△t}$L²，
感應(yīng)電流：I=$\frac{E}{r}$=$\frac{△{B}_{1}}{△t}$$\frac{{L}^{2}}{r}$，
安培力：F_安培=B₀IL=$\frac{△{B}_{1}}{△t}$$\frac{{B}_{0}{L}^{3}}{r}$，
金屬棒靜止，處于平衡狀態(tài)，
由平衡條件得：$\frac{△{B}_{1}}{△t}$$\frac{{B}_{0}{L}^{3}}{r}$=mgsinθ，
解得：$\frac{△{B}_{1}}{△t}$=$\frac{mgrsinθ}{{B}_{0}{L}^{3}}$；
（2）金屬棒做初速度為零的勻加速直線運動，
由勻變速直線運動的速度位移公式得：v²=2ax_bd，
金屬棒到達(dá)cd時的速度：v=2L，
金屬棒切斷磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢：
E′=B₀Lv=2B₀L²，
下邊磁場產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢：
E=$\frac{△{B}_{1}}{△t}$L²=$\frac{mgrsinθ}{{B}_{0}L}$，
通過金屬棒的電流：
I′=$\frac{E+E′}{r}$=$\frac{mgsinθ}{{B}_{0}L}$+$\frac{2{B}_{0}{L}^{2}}{r}$，
金屬棒受到的安培力：
F_安培′=B₀I′L=mgsinθ+$\frac{2{B}_{0}^{2}{L}^{3}}{r}$，
對金屬棒，由牛頓第二定律得：
F+mgsinθ-（mgsinθ+$\frac{2{B}_{0}^{2}{L}^{3}}{r}$）=ma，
解得：F=mL+$\frac{2{B}_{0}^{2}{L}^{3}}{r}$，
外力的功率：P=Fv=2mL²+$\frac{4{B}_{0}^{2}{L}^{4}}{r}$；
答：（1）B₁隨時間的變化率$\frac{{△B}_{1}}{△t}$為$\frac{mgrsinθ}{{B}_{0}{L}^{3}}$；
（2）金屬棒到達(dá)cd位置時，外力的功率為：2mL²+$\frac{4{B}_{0}^{2}{L}^{4}}{r}$．

點評 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)相結(jié)合的綜合題，難度較大，分析清楚題意與金屬棒的運動過程，應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律、E=BLv、歐姆定律、安培力公式、牛頓第二定律與功率公式可以解題．